Чтобы исследовать поведение функции, заданной параметрически как ( x(t) = t^3 - 3t ) и ( y(t) = t^4 - 6t^2 ), начнем с нахождения производных и биформирования параметрической кривой.

1. Найдем производные ( \frac{dx}{dt} ) и ( \frac{dy}{dt} ):

[
\frac{dx}{dt} = 3t^2 - 3 = 3(t^2 - 1) = 3(t - 1)(t + 1)
]

[
\frac{dy}{dt} = 4t^3 - 12t = 4t(t^2 - 3)
]

2. Найдем критические точки:

Критические точки возникают, когда ( \frac{dx}{dt} = 0 ) или ( \frac{dy}{dt} = 0 ).

Условие ( \frac{dx}{dt} = 0 ):
[
3(t - 1)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = -1, 1
]

Условие ( \frac{dy}{dt} = 0 ):
[
4t(t^2 - 3) = 0 \Rightarrow t = 0, \sqrt{3}, -\sqrt{3}
]

3. Найдем координаты критических точек:

Теперь найдем координаты ( (x, y) ) для каждого критического значения ( t ):

Для ( t = -1 ):
[
x(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2
]
[
y(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^2 = 1 - 6 = -5
]
Точка: ( (2, -5) ).

Для ( t = 0 ):
[
x(0) = 0^3 - 3(0) = 0
]
[
y(0) = 0^4 - 6(0)^2 = 0
]
Точка: ( (0, 0) ).

Для ( t = 1 ):
[
x(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2
]
[
y(1) = 1^4 - 6(1)^2 = 1 - 6 = -5
]
Точка: ( (-2, -5) ).

Для ( t = \sqrt{3} ):
[
x(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 3(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0
]
[
y(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 6(\sqrt{3})^2 = 9 - 18 = -9
]
Точка: ( (0, -9) ).

Для ( t = -\sqrt{3} ):
[
x(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 - 3(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 0
]
[
y(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^4 - 6(-\sqrt{3})^2 = 9 - 18 = -9
]
Точка: ( (0, -9) ).

4. Определение поведения кривой:

Теперь, зная критические точки, мы можем исследовать, как меняются ( x ) и ( y ) с изменением ( t ):

На интервале ( (-\infty, -\sqrt{3}) ): ( \frac{dx}{dt} > 0 ) и ( \frac{dy}{dt} < 0 ) (кривая идет вверх).На интервале ( (-\sqrt{3}, -1) ): ( \frac{dx}{dt} < 0 ) и ( \frac{dy}{dt} < 0 ) (кривая идет вниз и налево).На интервале ( (-1, 0) ): ( \frac{dx}{dt} < 0 ) и ( \frac{dy}{dt} > 0 ) (кривая идет вверх и налево).На интервале ( (0, 1) ): ( \frac{dx}{dt} > 0 ) и ( \frac{dy}{dt} < 0 ) (кривая идет вниз и вправо).На интервале ( (1, \infty) ): ( \frac{dx}{dt} > 0 ) и ( \frac{dy}{dt} < 0 ) (кривая идет вниз и вправо).5. Проведение анализа:

Кривая имеет критические точки, где могут проходить максимумы и минимумы.

В точке ( (0, 0) ) (центр), а также в точке ( (0, -9) ) и нулевая стабильная точка.У нас также есть поворотные точки ( (2, -5) ) и ( (-2, -5) ).

Кривая имеет вертикальные и горизонтальные асимптоты (или самовзаимодействие) и при различных значениях ( t ) она пересекает свои линии.

Теперь результатом нашего анализа является общее понимание поведения заданной параметрически функции.