Рассмотрим функцию ( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ), заданную следующим образом:

[
f(x) =
\begin{cases}
1 & \text{если } x \text{ рациональное} \
0 & \text{если } x \text{ иррациональное}
\end{cases}
]

Эта функция называется функцией Дирихле.

Производная:

Производная функции ( f ) в точке ( x_0 ) рассчитывается как предел:

[
f'(x0) = \lim{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
]

В любой точке ( x_0 ) мы можем выбрать последовательность ( h_n ) таких, что ( x_0 + h_n ) рационален и последовательность ( g_n ) таких, что ( x_0 + g_n ) иррационален. Поскольку множеств рациональных и иррациональных чисел плотны, при ( h ) стремящемся к нулю значения ( f(x_0 + h) ) будут менять свои значения с ( 1 ) на ( 0 ). Поэтому:

[
f'(x_0) = 0 \text{ для всех иррациональных } x_0
]
и
[
f'(x_0) = 0 \text{ для всех рациональных } x_0
]

Таким образом, производная ( f' ) равна ( 0 ) для всех ( x \in \mathbb{R} ). Она существует в каждой точке пространства, следовательно, существует почти везде (во всех точках ( \mathbb{R} )).

Интегрируемость:

Рассмотрим интеграл ( \int_{a}^{b} f(x) \, dx ) для некоторого ( a ) и ( b ). Поскольку ( f(x) = 1 ) на множестве рациональных чисел, и это множество имеет нуль-мерную меру, и ( f(x) = 0 ) на множестве иррациональных чисел, которое имеет полную меру на отрезке ( [a, b] ).

Таким образом, интеграл Римана от ( f ) по любому отрезку существует и равен ( 0 ) (потому что мерами иррациональных чисел).

Однако, функция ( f ) не является интегрируемой в смысле Римана, так как она не является ограниченной или ее нижний и верхний интегралы различаются (рациональные точки отсутствуют в предельном смысле).

Таким образом, ( f ) — это пример функции, у которой производная существует почти везде, но она не является интегрируемой в Римане.