Для того чтобы многочлен был положителен на всей действительной прямой, необходимо, чтобы его коэффициенты удовлетворяли определенным условиям в зависимости от степени многочлена.

Для квадратичного многочлена

Рассмотрим многочлен второго порядка вида ( f(x) = ax^2 + bx + c ):

Коэффициент при ( x^2 ) (то есть ( a )) должен быть положительным, т.е. ( a > 0 ).Дискриминант ( D = b^2 - 4ac ) должен быть меньше нуля: ( D < 0 ). Это означает, что у многочлена нет действительных корней, и график параболы "смотрит вверх".Для многочлена четной степени

Для многочлена четной степени вида ( f(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0 ):

( a_n > 0 ) - ведущий коэффициент должен быть положительным.Все его корни должны быть комплексными или кратными и должны иметь четную кратность.Для многочлена нечетной степени

Для многочленов нечетной степени ситуация сложнее, так как они не могут быть положительными на всей прямой, поскольку такие многочлены стремятся к ( +\infty ) при ( x \to +\infty ) и к ( -\infty ) при ( x \to -\infty ).

Общий случай

Существует общее условие для многочлена ( P(x) ), чтобы он был положителен на всей прямой:

Можно использовать условие Ферма: его все действительные корни являются комплексными и имеют четную кратность, при этом ведущий коэффициент положителен.

Кроме того, для многочленов можно использовать критерий положительной определенности, например, для формального многочлена ( P(x) ) построить все возможные символы, и если все они положительны, тогда многочлен будет положителен на всем ( \mathbb{R} ).

В общем случае можно проводить анализ с использованием методов, основанных на теории функций: например, проверка производной и исследование знаков.