Доказательство предела (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1) можно провести несколькими способами. Рассмотрим классическое геометрическое доказательство, а затем предложим несколько альтернативных подходов.

Геометрическое Доказательство:

Рассмотрим единичную окружность. Пусть (x) – угол в радианах. На окружности проведем радиус, образующий угол (x) с положительным направлением оси абсцисс. Обозначим точку пересечения радиуса с окружностью как (A).

Проведем перпендикуляр из точки (A) на ось (x) и обозначим точку пересечения как (B). Параллельная линия, проведенная через (B) до пересечения с осью (y), пересечется с этой осью в точке (C).

Рассмотрим треугольник (OAB) (где (O) – центр окружности) и сектор (OAC). Из свойств окружности видно, что:

Длина сектора (OAC) равна (x).Площадь треугольника (OAB) равна (\frac{1}{2} \cdot r \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{1}{2} \sin x).Площадь сектора (OAC) равна (\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot x = \frac{1}{2} x).Площадь треугольника (OBC) равна (\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \frac{1}{2} \tan x).

В итоге получаем неравенство:
[
\text{Площадь трiangle } OAB < \text{Площадь сектора } OAC < \text{Площадь трiangle } OBC.
]
При делении всего на (\frac{1}{2} \sin x), для (x > 0):
[
1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x.
]

При (x \to 0), (\cos x \to 1). По теореме о пределе, (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1).

Альтернативные Подходы:

Запись через ряд Тейлора:
Используя разложение функции (\sin x) в ряд Тейлора около нуля, мы можем записать:
[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).
]
Тогда:
[
\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4).
]
При (x \to 0) последний член стремится к нулю, и мы получаем (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1).

Используя производную:
Рассмотрим функцию (f(x) = \sin x). Тогда, по определению производной:
[
f'(0) = \lim{x \to 0} \frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x}.
]
Поскольку (f'(x) = \cos x) и (f'(0) = 1), то (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1).

Использование тригонометрических неравенств:
Полное использование тригонометрических функций позволяет показать, что для небольших (x):
[
\frac{\sin x}{x} \leq 1 \quad \text{и} \quad \sin x \geq x \cos x,
]
что также ведет к (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1).

Все эти подходы демонстрируют универсальность и многогранность математического анализа.