Для самосопряжённых дифференциальных операторов, например, определяемых на неограниченных областях, спектр может иметь как дискретные, так и непрерывные части. Чтобы исследовать поведение спектра самосопряжённых дифференциальных операторов и сформулировать условия дискретности спектра, рассмотрим несколько ключевых аспектов.

1. Определение самосопряжённого оператора

Самосопряжённый дифференциальный оператор ( L ) действует на функции, принадлежащие определённому пространству, например, ( L^2(\Omega) ), где ( \Omega ) — область в пространстве. Оператор ( L ) считается самосопряжённым, если выполняется условие:

[
\langle Lf, g \rangle = \langle f, Lg \rangle
]

для всех ( f, g ) из области определения ( L ).

2. Условия дискретности спектра

Спектр самосопряжённого оператора может быть дискретным, если выполняются следующие условия:

Компактность области: Если оператор определён на компактной области с "хорошими" границами и при условии, что функции из области определения имеют нулевые значения на границе (например, при Дирихле или нейтральных краевых условиях), то спектр будет дискретным.

Чёткие краевые условия: Если оператор подчиняется условиям, которые приводят к полному набору собственных функций (например, в случае краевых условий), то спектр может быть дискретным.

Анализ самосопряжённого спектра: Если спектр является ограниченным (например, для приложений в квантовом механике), он может быть дискретным.

3. Примеры

Иногда дискретный спектр возникает у оператора Лапласа, если он применяется на ограниченной области (например, на шаре или в квадрате) с соответствующими краевыми условиями.

Оператор (-d^2/dx^2) с условиями Дирихле на отрезке ([0, L]) имеет дискретный спектр собственных значений вида ( \frac{n^2\pi^2}{L^2} ), где ( n ) — натуральное число.

4. Результаты теории

Исследования показывают, что в общем случае можно использовать такие элементы теории как форма, спектральная теорема, и теорема о малом параметре, чтобы детально анализировать и классифицировать спектры самосопряжённых операторов.

Таким образом, для обеспечения дискретности спектра самосопряжённых дифференциальных операторов необходимо учитывать как свойства области определения, так и выбранные краевые условия.