Теорема Виета для многочленов гласит, что для многочлена ( P(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 ) с корнями ( r_1, r_2, \ldots, r_n ), сумма и произведения корней взаимосвязаны с коэффициентами многочлена. Для многочлена степени ( n ) можно записать следующие соотношения:

Сумма корней (с учетом знака):
[
r_1 + r_2 + \ldots + rn = -\frac{a{n-1}}{a_n}
]

Сумма произведений корней по два:
[
r_1 r_2 + r_1 r3 + \ldots + r{n-1} rn = \frac{a{n-2}}{a_n}
]

Сумма произведений корней по три:
[
r_1 r_2 r_3 + r_1 r_2 r4 + \ldots + r{n-2} r_{n-1} rn = -\frac{a{n-3}}{a_n}
]

и так далее, пока не дойдем до произведения всех корней:
[
r_1 r_2 \ldots r_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}.
]

Это можно обобщить с помощью симметрических функций. Обозначим ( e_k ) как k-ю симметрическую функцию корней ( r_1, r_2, \ldots, r_n ):

( e_1 = r_1 + r_2 + \ldots + r_n ),( e_2 = r_1 r_2 + r_1 r3 + \ldots + r{n-1} r_n ),( e_3 = r_1 r_2 r_3 + \ldots ),...( e_n = r_1 r_2 \ldots r_n ).

Тогда обобщенная теорема Виета утверждает, что для любого многочлена ( P(x) ) степени ( n ) с корнями ( r_1, r_2, \ldots, r_n ) можно выразить коэффициенты многочлена через симметрические функции корней следующим образом:

( (-1)^{k-1} ek = \frac{a{n-k}}{a_n} ) для ( k = 1, 2, \ldots, n ).

Таким образом, коэффициенты многочлена через симметрические функции корней являются обобщением классической теоремы Виета для многочленов любой степени.