Неравенство Чебышева является одним из основных инструментов в теории вероятностей, который позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания. Оно утверждает, что для произвольной случайной величины (X) с математическим ожиданием (E[X] = \mu) и дисперсией (\text{Var}(X) = \sigma^2) верно следующее неравенство:

[
P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}
]

где (k > 0).

Определите математическое ожидание и дисперсию. Для случайной величины (X) вам необходимо вычислить её математическое ожидание (\mu) и дисперсию (\sigma^2). Это может быть сделано, если известна функция распределения или закон распределения (X).

Выберите значение (k). Выберите (k), которое определяет, насколько далеко наблюдение может отклоняться от математического ожидания в терминах стандартных отклонений. Например, если вы хотите оценить вероятность отклонения на 2 стандартных отклонения, установите (k=2).

Примените неравенство Чебышева. Подставьте значения в неравенство. Например, если вы хотите найти вероятность того, что (X) отклонилась от (\mu) на расстояние более чем (2\sigma):

[
P(|X - \mu| \geq 2\sigma) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}
]

Это означает, что вероятность того, что случайная величина (X) отклонится от своего математического ожидания на более чем (2\sigma), не превышает 25%.

Пример с дискретной случайной величиной. Пусть (X) — дискретная случайная величина, принимающая значения от 1 до 5 с равными вероятностями. Математическое ожидание:

[
\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3
]

Дисперсия:

[
\sigma^2 = E[X^2] - \mu^2 = \left(\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}{5}\right) - 3^2 = \frac{55}{5} - 9 = 11 - 9 = 2
]

Стандартное отклонение (\sigma = \sqrt{2}). Теперь можем оценить вероятность отклонения на 2 стандартных отклонения:

[
P(|X - 3| \geq 2\sqrt{2}) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}
]

Получение более точных оценок. Хотя неравенство Чебышева предоставляет полезные верхние границы, в реальных задачах можно ощущать потребность в более точных оценках. Например, когда распределение (X) подчиняется нормальному закону. В этом случае можно использовать свойства нормального распределения для оценок вероятности. Неравенство Чебышева более эффективно, если случайная величина имеет известное распределение или дополнительные условия, такие как строгость.

Таким образом, неравенство Чебышева — мощный инструмент для работы с вероятностными оценками, который можно использовать в различных ситуациях, когда требуется оценить отклонение случайной величины от её среднего значения.