Доказательство иррациональности логарифмов для некоторых рациональных аргументов можно провести, используя свойства логарифмов и теорему о трансцендентных числах. Один из наиболее известных примеров — это доказательство иррациональности логарифма 2.

Доказательство иррациональности логарифма 2:

Предположим, что логарифм 2 является рациональным числом. Это означает, что существует такая пара целых чисел ( p ) и ( q ) (где ( p ) и ( q ) не взаимно простые и ( q \neq 0 )), что:

[
\log_{10}(2) = \frac{p}{q}
]

Это равенство можно переписать в экспоненциальной форме:

[
2 = 10^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{10^p}
]

То есть:

[
2^q = 10^p
]

Заметим, что ( 10^p = (2 \cdot 5)^p = 2^p \cdot 5^p ). Подставим это в уравнение:

[
2^q = 2^p \cdot 5^p
]

Теперь сравним степени по основанию 2. Это дает:

[
2^q = 2^p \cdot 5^p \Rightarrow 2^q / 2^p = 5^p \Rightarrow 2^{q-p} = 5^p
]

Мы видим, что левая сторона ( 2^{q-p} ) является четным числом, так как основание 2 — четное. А правая сторона ( 5^p ) — нечетное. Это противоречие, так как четное и нечетное числа не могут быть равны.

Следовательно, наше начальное предположение о том, что ( \log{10}(2) ) является рациональным, было неверным. Таким образом, мы приходим к тому, что ( \log{10}(2) ) — иррационально.

Обобщение:

Для других оснований аналогичные подходы можно использовать, но важно понимать, что всякое основание, которое является целым числом, приводит к аналогичным результатам. Если будет выполнено аналогичное доказательство для других логарифмов (например, ( \log{10}(3) ), ( \log{10}(5) ) и так далее), можно будет утверждать, что они также иррациональны.

Однако, не для всех рациональных чисел существует гарантированное доказательство иррациональности логарифма. Например, некоторые логарифмы, такие как ( \log{10}(1) ) или ( \log{10}(10) ), очевидно, являются рациональными.

Таким образом, конструктивный способ доказать иррациональность логарифма состоит в использовании методов, связанных с противоречием, и исследованием отношений между числами, возникающими в результате экспоненциальных преобразований.