Преобразование Мебиуса — это важный инструмент в теории чисел, который активно используется в арифметике, особенно в контексте суммирования функций, связанных с делителями чисел. В частности, оно помогает вычислять суммы функции от делителей, таких как функция дивизора.

Определение преобразования Мебиуса:

Преобразование Мебиуса связано с функцией Мебиуса (\mu(n)), которая определяется так:

(\mu(n) = 1), если (n) — квадрат-free (без квадратного делителя, кроме 1) четное число.(\mu(n) = -1), если (n) — квадрат-free нечетное число.(\mu(n) = 0), если (n) имеет квадратный делитель (например, (4), (9) и т.д.).

Формула преобразования Мебиуса:

Рассмотрим две арифметические функции (f(n)) и (g(n)), связанные с делителями числа. С помощью преобразования Мебиуса можно установить следующую взаимосвязь:
[
g(n) = \sum{d | n} f(d) \iff f(n) = \sum{d | n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) g(d),
]
где сумма берется по всем делителям (d) числа (n).

Этот результат позволяет вычислять сумму значений функции (f) по делителям (n) с помощью функции (g).

Пример использования:

Рассмотрим функцию (g(n) = d(n)), где (d(n)) — число делителей (n). Мы можем использовать преобразование Мебиуса для нахождения суммы делителей (f(n) = \sigma(n)), где (\sigma(n)) — сумма всех делителей числа (n).

Согласно выше приведенному равенству:
[
\sigma(n) = \sum_{d | n} d(d) \mu\left(\frac{n}{d}\right).
]

Так, для (n = 12) сумма делителей будет равна:
[
\sigma(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.
]

Теперь применим преобразование к числу (12):

Делители (12): (d(1) = 1), (d(2) = 2), (d(3) = 2), (d(4) = 3), (d(6) = 4), (d(12) = 6).Используем (\mu(d)) для расчета:
Для квадрат-free: ( \mu(1) = 1, \mu(2) = -1, \mu(3) = -1, \mu(4) = 0, \mu(6) = 1, \mu(12) = 0 ).Считаем (\sigma(12)) по формуле преобразования Мебиуса.

Таким образом, преобразование Мебиуса эффективно позволит нам связать разные функции, связанные с делителями, и вычислить их значения для заданных (n).