Сходимость последовательностей матриц является важной темой в линейной алгебре и функциональном анализе. Рассмотрим, что такое сходимость по норме и поточечная сходимость для последовательностей матриц.

Сходимость по норме

Последовательность матриц ({A_n}) сходится по норме к матрице (A), если:

[
\lim_{n \to \infty} | A_n - A | = 0
]

где (|\cdot|) — это норма матриц. Часто рассматриваются разные нормы, например, фробениусова норма или спектральная норма, но основные условия остаются одинаковыми.

Условия сходимости по норме:

Последовательность ({A_n}) является ограниченной, и существует матрица (A), к которой матрицы сходятся.Для любой (\epsilon > 0) найдётся натуральное число (N) такое, что для всех (n > N) выполняется (| A_n - A | < \epsilon).Поточечная сходимость

Последовательность матриц ({A_n}) сходится поточечно к матрице (A), если для всех (i,j):

[
\lim_{n \to \infty} A_n(i,j) = A(i,j)
]

где (A_n(i,j)) и (A(i,j)) — элементы матриц (A_n) и (A) соответственно.

Условия поточечной сходимости:

Существует матрица (A) и для каждой фиксированной пары индексов (i, j) последовательность чисел (A_n(i,j)) сходится к (A(i,j)).Поточечная сходимость может происходить, даже если норма разности матриц не стремится к нулю; это связано с тем, что точки могут иметь разные скорости сходимости.Связь между сходимостью по норме и поточечной сходимостьюЕсли последовательность матриц ({A_n}) сходится по норме к матрице (A), то она также сходится поточечно к той же матрице (A).Обратное не всегда верно: поточечная сходимость не гарантирует сходимость по норме. Например, если последовательность матриц имеет разные нормы или элементы расходятся с точки зрения нормы, но элементы отдельных строк или столбцов могут сходиться.Примеры

Сходимость по норме: Рассмотрим последовательность ({A_n}), где (A_n = \begin{pmatrix} \frac{1}{n} & 0 \ 0 & \frac{1}{n} \end{pmatrix}). Эта последовательность сходится по норме к нулевой матрице.

Поточечная сходимость: Пусть (A_n = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{n} \ 0 & 0 \end{pmatrix}). Эта последовательность сходится поточечно к матрице (A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}), но не сходится по норме, так как норма матриц не стремится к нулю.

Таким образом, для понимания сходимости последовательностей матриц важно различать поточечную и нормированную сходимость, а также учитывать условия их исполнения.