В функциональном анализе, для проверки того, что оператор ( T: C[0,1] \to \mathbb{R} ) является компактным, можно использовать несколько критериев. В частности, можно воспользоваться следующими свойствами оператора:

Отображение ограниченного множества в предкомпактное множество. Оператор ( T ) является компактным, если он переводит всякое ограниченное множество в предкомпактное множество (т.е. в множество, которое имеет свойство, что его замыкание является компактным).

Проверка на собственное подмножество. Если оператор ( T ) можно представить как предел конечномерных операторов, то он компактный. Например, если ( T ) можно аппроксимировать последовательностью операторов, действующих в конечномерных пространствах (таких как конечномерные подмножества пространства ( C[0,1] )), то оператор является компактным.

Свойства оператора на единичной сфере. Если оператор ( T ) переводит единичную сферу (в ( C[0,1] )) в множество, имеющее компактное замыкание, то ( T ) является компактным.

Ниже приведены примеры компактных и некомпактных операторов:

Примеры компактных операторов:

Интегральный оператор: Рассмотрим оператор, заданный формулой
[
(Tf)(x) = \int_0^1 K(x, y) f(y) \, dy
]
где ( K(x, y) ) является непрерывной функцией на квадрате ( [0,1] \times [0,1] ). Такой оператор является компактным по теореме Арцела-Асколи, поскольку интеграл преобразует непрерывные функции в непрерывные функции и обеспечивает предкомпактность образа.

Оператор ограниченного усреднения: Оператор вида
[
(Tf)(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x - \frac{k}{n}\right)
]
также будет компактным, так как он связывает функции с их средними значениями, что приводит к сжатию изменений.

Примеры некомпактных операторов:

Идентичный оператор: Оператор ( T: C[0,1] \to C[0,1] ), заданный как ( Tf = f ), не является компактным, так как он не переводит ограниченные множества в предкомпактные. Непрерывность функции не теряется, и образ остается ограниченным, но не ограниченным в компактности.

Оператор, основанный на точечной оценке: Оператор, который переводит функцию в значение функции в фиксированной точке ( x_0 ):
[
Tf = f(x_0)
]
не является компактным, поскольку образ единичной сферы (часто ее незыблемая часть — точка) не имеет компактного замыкания в ( \mathbb{R} ).

Таким образом, для проверки компактности операторов важно следить за их поведением по отношению к множествам, а также использовать известные теоремы и критерии для определения компактности.