Чтобы исследовать пределы и асимптотику рекурсивно заданной функции ( f_{n+1} = g(f_n) ), необходимо сначала определить свойства функции ( g ) и поведение последовательности ( f_n ).

Существует ли фиксированная точка: Начнем с поиска фиксированной точки ( x^ ), такой что ( g(x^) = x^ ). Если такая точка существует, и ( f_n ) конвергирует к ( x^ ), это будет точка предельного значения нашей последовательности.

Линейная и не линейная сходимость: Определяем, существует ли производная ( g'(x) ) в окрестности ${x^}$. Если ( |g'(x^)| < 1 ), то по теореме о сходимости последовательностей можно сказать, что последовательность будет сходиться к фиксированной точке ( x^ ) линейно. Если ( |g'(x^)| > 1 ), сходимость может не происходить, а если ( |g'(x^*)| = 1 ), то это говорит о возможной не линейной сходимости.

Оценка скорости сходимости: Если у нас есть производная ( g ), то можно оценить скорость сходимости с помощью следующего соотношения:

[
|f_{n+1} - x^| \leq |g'(x^)| |f_n - x^*|
]

В случае, если ( |g'(x^*)| < 1 ), мы получим:

[
|f_n - x^| \leq C |g'(x^)|^n
]

для некоторой константы ( C ). Таким образом, скорость сходимости будет экспоненциальной.

Уточняющие методы: Для более точной оценки сходимости можно использовать такие методы, как:

Метод последовательных приближений: Если последовательность ( f_n ) монотонна и ограничена, она сходится к пределу.Анализ второго порядка: Рассмотрение второго порядка производной ( g''(x) ) и оценка сходимости далее.Методы ординарной аппроксимации: Изучение разложений в ряд Тейлора для более точной оценки поведения ( g(f_n) ) в окрестности ( f_n ).

Практика: Для практического анализа необходимо подставить конкретную форму функции ( g ) и вычислить соответствующие производные и пределы. Это позволит построить более точные прогнозы о поведении последовательности ( f_n ).

Обратите внимание, что конкретные детали и подходы могут варьироваться в зависимости от свойств функции ( g ) и начальных условий для ( f_n ).