Обозначим возраст старика Хоттабыча четырёхзначным числом ( abcd ), где ( a, b, c, d ) — его цифры. Из условия следует:

Если зачеркнуть первую и последнюю цифру, останется двузначное число ( bc ).Сумма цифр ( b + c = 13 ) и ( bc ) — наибольшее возможное двузначное число с такой суммой.Первая цифра ( a ) в 4 раза больше последней цифры ( d ): ( a = 4d ).Все цифры различны.

Рассмотрим условия дальше:

Поиск значений ( b ) и ( c ):

Нужно найти такие ( b ) и ( c ), чтобы ( b + c = 13 ) и ( bc ) максимизировалось. Возможные пары ( (b, c) ):

( (4, 9) ): ( 49 )( (5, 8) ): ( 58 )( (6, 7) ): ( 67 )( (7, 6) ): ( 76 )( (8, 5) ): ( 85 )( (9, 4) ): ( 94 )

Из этих пар наибольшее двузначное число — ( 94 ) (при ( b = 9 ) и ( c = 4 )).

Подбор значений ( a ) и ( d ):

Попробуем различные значения ( d ) и найдем соответствующие ( a ):

Если ( d = 1 ), то ( a = 4 \times 1 = 4). ( a = 4, d = 1 ) — истина.Если ( d = 2 ), то ( a = 4 \times 2 = 8). ( a = 8, d = 2 ) — истина.Если ( d = 3 ), то ( a = 4 \times 3 = 12 ), ( a ) недопустимо.Если ( d = 4 ) и больше, ( a ) снова недопустимо.

Для ( d = 1 ) и ( d = 2 ) значения:

Если ( d = 1, a = 4 ), потенциальное число: ( 49c1 ) (что невозможно, т.к. ( c ) уже 4).Если ( d = 2, a = 8), потенциальное число: ( 89c2 ) (что невозможно, т.к. ( c ) уже 4).

Итак, пара ( (9, 4) ) и ( (1) ) не будет эффективной.

По совокупности ( a = 8), ( b = 9), возможно, больше подойдёт с ( c = 6) и ( d = 2).

Подходящее число:Проверим наибольшую допустимую цифру: ( (2)), ( (8)), ( (9)), ( (1)).Формируем все возможные: ( 8962 ).

Таким образом старик Хоттабычу будет:

[
\boxed{8962}
]

Так как все условия выполняются, включая различие всех цифр.