Утверждение "Если интеграл от функции на отрезке равен нулю, то функция тождественно ноль" не всегда верно. Действительно, существует множество контрпримеров, когда интеграл функции на каком-либо интервале может равняться нулю, не указывая при этом на то, что сама функция равна нулю на всем этом интервале.

Контрпримеры:

Функция с нулевым интегралом, но не равная нулю:

Рассмотрим функцию ( f(x) ), равную 1 на отрезке ( [0, 1] ) и равную -1 на отрезке ( [1, 2] ):
[
f(x) =
\begin{cases}
1 & \text{если } 0 \leq x < 1 \
-1 & \text{если } 1 \leq x < 2
\end{cases}
]Тогда интеграл ( \int_0^2 f(x) \, dx = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 0 ), но явно ( f(x) \neq 0 ) на отрезке ( [0, 2] ).

Дельта-функция:

Рассмотрим функцию Дирихле, которая равна 1 на рациональных числах и 0 на иррациональных числах на отрезке ( [0, 1] ). Интеграл этой функции по любому отрезку равен 0, но она не тождественно равна нулю.Условия, при которых утверждение верно:

Утверждение будет верным в рамках некоторых условий. Например:

Непрерывные функции:

Если функция ( f(x) ) непрерывна на отрезке ( [a, b] ) и ( \int_a^b f(x) \, dx = 0 ), то ( f(x) ) тождественно равна 0 на этом отрезке. Это следует из теоремы о свойстве непрерывной функции и её интеграле.

Значение при определённых условиях:

Если функция интегрируема и не имеет нулевых множеств, то результат интегрирования может указывать на то, что функция равна нулю на всем промежутке.

Таким образом, утверждение требует уточнений и зависимостей от условий, при которых функция рассматривается.