Несобственные интегралы — это интегралы, в которых пределы интегрирования бесконечны или интегрируемая функция имеет особенности (разрывы) на интервале интегрирования. Для определения сходимости таких интегралов используют различные критерии. Рассмотрим основные из них:

Критерии сходимости несобственных интегралов

Критерий сравнения: Если функция ( f(x) ) положительна и на интервале ( [a, b) ) или ( (a, b) ) меньше или равна функции ( g(x) ), для которой известна сходимость (например, ( \int g(x) dx ) сходится), то ( \int f(x) dx ) также сходится. Аналогично, если ( f(x) ) больше ( g(x) ), и ( g(x) ) расходится, то и ( f(x) ) расходится.

Критерий Дирихле: Если функция ( f(x) ) положительна и монотонно убывает, а функция ( g(x) ) ограничена на промежутке, то интеграл ( \int f(x) g(x) dx ) сходится.

Критерий коренного и интегрального теста: Для положительных функций можно использовать неравенство, сравнивающее ( f(x) ) и ( \dfrac{1}{x^p} ) (где ( p > 1 ) или ( p \leq 1 )).

Пример

Рассмотрим интеграл:

[
I = \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx
]

Применяем критерий сравнения: Сравниваем ( f(x) = \frac{1}{x^2} ) с ( g(x) = \frac{1}{x} ). Мы знаем, что ( \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx ) расходится, значит, вполне логично, что ( \frac{1}{x^2} ) будет сходиться, но это проверка, требующая более внимательного подхода. Используем сам интеграл ( I ) для вычисления:

[
I = \lim_{b \to \infty} \int1^b \frac{1}{x^2} \, dx = \lim{b \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]1^b = \lim{b \to \infty} \left(-\frac{1}{b} + 1\right) = 1
]

Интеграл сходится.

Теперь рассмотрим другой интеграл:

[
J = \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx
]

Подводя итог:

В этом примере, критерий сравнения не сработал бы для ( J ), потому что ( \frac{1}{x} ) находится на грани сходимости и разбиения. Но сам интеграл верхнего предела заранее указывает на расходимость.

Таким образом, существование разных критериев сходимости может обеспечить разные результаты в зависимости от структуры и свойств функции, используемой в интеграле.