Сумма арифметической прогрессии — это сумма нескольких чисел, которые образуют последовательность, где каждый следующий член получается добавлением одного и того же фиксированного числа к предыдущему. Формула для суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

[
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
]

где ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов, ( a_1 ) — первый член прогрессии, ( a_n ) — ( n )-й член, а ( n ) — количество членов.

Определение арифметической прогрессии: Объясните, что такое арифметическая прогрессия на примере. Например, последовательность ( 2, 5, 8, 11, 14 ) — это арифметическая прогрессия с первым членом ( a_1 = 2 ) и разностью ( d = 3 ).

Нахождение n-го члена: Через последовательные добавления разности ( d ) можно выразить ( n )-й член прогрессии:
[
a_n = a_1 + (n-1)d
]

Сумма с двух сторон: Рассмотрим сумму ( S_n ):
[
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n
]
Если запишем сумму в обратном порядке, то получится:
[
S_n = an + a{n-1} + a_{n-2} + \ldots + a_1
]
При сложении этих двух равенств мы получим:
[
2S_n = (a_1 + a_n) + (a2 + a{n-1}) + (a3 + a{n-2}) + \ldots + (a_n + a_1)
]

В каждой паре сумма равна ( a_1 + a_n ), и таких пар ( \frac{n}{2} ) (если ( n ) четное) или ( \frac{n-1}{2} ) + 1 центр. член (если ( n ) нечетное). В общем случае,
[
2S_n = n(a_1 + a_n)
]

Итоговая формула: Отсюда сразу следует, что:
[
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
]

Использование формулы для n-го члена: Можно также использовать выражение для ( n )-го члена ( a_n ) и вместо него подставить ( a_1 + (n-1)d ) в формуле суммы, что приводит к тому же результату.

Графический подход: Можно нарисовать столбик с членами прогрессии и показать, как это выглядит визуально. Сумма может быть воспринята как площадь под прямоугольником, если представить членов прогрессии в виде прямоугольников.

Индукция: Можно доказать формулу математической индукцией, показывая, что если формула верна для ( n ), то она также верна для ( n + 1 ).

Проверка на примерах: Применение этой формулы на простых числовых примерах для закрепления понимания и проверки её правильности.

Эти методы помогут сделать объяснение доступным и понятным для школьника, а также помогут ему лучше усвоить материал.