Расстояние от точки до прямой можно вычислить несколькими способами в двухмерной геометрии. Рассмотрим наиболее распространенные подходы и формулы, а также как их эквивалентность может быть доказана.

1. Уравнение прямой

Рассмотрим прямую в общем виде, заданную уравнением:

[ Ax + By + C = 0 ]

и точку ( P(x_0, y_0) ).

Расстояние от точки ( P ) до прямой можно вычислить по формуле:

[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
]

Доказательство правильности формулы

Перпендикуляр из точки до прямой: Минимальное расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра к этой прямой.

Формула расстояния: Подставим координаты точки ( (x_0, y_0) ) и уравнение прямой ( Ax + By + C = 0 ). Выразим значение ( Ax_0 + By_0 + C ), которое показывает, через какую величину точка ( P ) расположена относительно прямой (выше или ниже прямой).

Использование вектора нормали: Вектор ( \vec{n} = (A, B) ) является нормальным к прямой, и длина этого вектора равна ( \sqrt{A^2 + B^2} ). Формула делит проекцию расстояния на нормаль.

2. Прямая в канонической форме

Если прямая задана в канонической форме:

[ y = kx + b ]

где ( k ) — угловой коэффициент, то расстояние от точки ( P(x_0, y_0) ) можно вычислить следующим образом:

[
d = \frac{|y_0 - (kx_0 + b)|}{\sqrt{1 + k^2}}
]

Доказательство эквивалентности формул

Чтобы показать эквивалентность этих двух подходов, мы можем преобразовать одно уравнение в другое:

Уравнение прямой ( Ax + By + C = 0 ) можно переписать в виде ( y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B} ). Таким образом, ( k = -\frac{A}{B} ) и ( b = -\frac{C}{B} ).

Подставив ( k ) и ( b ) в формулу расстояния, мы получим:

[
d = \frac{|y_0 - \left(-\frac{A}{B}x_0 - \frac{C}{B}\right)|}{\sqrt{1 + \left(-\frac{A}{B}\right)^2}} = \frac{|By_0 + Ax_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
]

Таким образом, обе формулы описывают одно и то же расстояние от точки до прямой.

3. Векторный подход

Также можно использовать векторный подход, если обозначить точку ( P ) как вектор ( \mathbf{p} = (x_0, y_0) ) и прямую через векторное уравнение, задающее прямую через нормальный вектор и точку на прямой. Это приведет к аналогичным расчетам, подтверждающим эквивалентность методов.

Заключение

Существуют разные способы вычисления расстояния от точки до прямой, и все они эквивалентны. Анализ различных формул помогает понять их связь и убедиться в их корректности.