Утверждение, что произведение двух непрерывных функций всегда непрерывно, является верным. В математическом анализе существует теорема, которая утверждает, что если ( f ) и ( g ) — две непрерывные функции на некотором множестве ( A ), то их произведение ( f \cdot g ) также является непрерывной функцией на этом множестве.

Доказательство:

Пусть ( f: A \to \mathbb{R} ) и ( g: A \to \mathbb{R} ) — непрерывные функции. Согласно определению непрерывности, функция ( f ) непрерывна в точке ( c ) тогда и только тогда, когда для любого ( \epsilon > 0 ) существует такое ( \delta > 0 ), что если ( |x - c| < \delta ), то ( |f(x) - f(c)| < \epsilon ). Аналогично это также верно для функции ( g ).

Мы хотим показать, что ( h(x) = f(x) \cdot g(x) ) тоже непрерывна в точке ( c ).

Для этого используем свойство, что произведение двух чисел непрерывно:

[
|h(x) - h(c)| = |f(x)g(x) - f(c)g(c)| \leq |f(x)||g(x)| + |g(c)||f(x) - f(c)| + |f(c)||g(x) - g(c)|.
]

С учетом непрерывности ( f ) и ( g ) в точке ( c ), существует ( \delta > 0 ), для которого ( |f(x) - f(c)| < \epsilon/3 ) и ( |g(x) - g(c)| < \epsilon/3 ) при ( |x - c| < \delta ). Этого достаточно, чтобы выразить ( |h(x) - h(c)| ) через ( \epsilon ).

Таким образом, ( h(x) = f(x) \cdot g(x) ) непрерывна в точке ( c ).

Контрпримеры при слабых условиях

Если убрать условия о том, что функции должны быть непрерывными, можно привести примеры, которые демонстрируют, что произведение может быть не непрерывным. Например:

Пусть ( f(x) = x ) для ( x \neq 0 ) и ( f(0) = 1 ); и ( g(x) = 1/x ) для ( x \neq 0 ) и ( g(0) = 1 ). Оба функции ( f ) и ( g ) имеют разрыв в точке ( x = 0 ), и произведение ( f \cdot g = 1 ) для ( x \neq 0 ) и не определено для ( x = 0 ).

Таким образом, в общем случае, если функции не являются непрерывными, их произведение может не быть непрерывным. Однако если обе функции непрерывны, то их произведение будет непрерывным.