Условная вероятность — это вероятность события, при условии выполнения другого события. Она особенно полезна в ситуациях, когда мы имеем дело с последовательными испытаниями, так как позволяет учитывать информацию, получаемую в процессе этих испытаний.

Обоснование использования условной вероятности

Во многих задачах о выживании (или других многократных испытаниях) мы можем столкнуться с ситуациями, где результат одного испытания влияет на вероятность последующих. Например, в медицине при оценке выживаемости пациентов после определённого лечения информация о предыдущем результате (например, течение болезни или реакция на лечение) может изменить наши ожидания о будущем.

Пример задачи

Рассмотрим задачу о выживании двух пациентов после операции. Пусть вероятность выживания пациента после операции равна 0.8. Предположим, что если первый пациент выживает, то вероятность выживания второго пациента увеличивается до 0.9 (например, они получают одинаковую поддержку во время восстановления). Если же первый пациент не выживает, вероятность выживания второго остается 0.8.

Задача

Найдите вероятность того, что оба пациента выживут.

Расчёт

Обозначим события:

( A_1 ) — первый пациент выживает.( A_2 ) — второй пациент выживет.

Мы знаем:

( P(A_1) = 0.8 )( P(A_2|A_1) = 0.9 ) — вероятность выживания второго пациента при условии, что первый выжил.( P(A_2|A_1^c) = 0.8 ) — вероятность выживания второго пациента при условии, что первый не выжил.

Для находки вероятности того, что оба пациента выживут, используем полное правило вероятностей:

[
P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1)
]

Подставим известные значения:

[
P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) = 0.8 \cdot 0.9 = 0.72
]

Таким образом, вероятность того, что оба пациента выживут, равна 0.72.

Теперь учтем и случай, когда первый пациент не выжил, но второй может выжить:

[
P(A_1^c) = 1 - P(A_1) = 0.2
]
[
P(A_1^c \cap A_2) = P(A_1^c) \cdot P(A_2|A_1^c) = 0.2 \cdot 0.8 = 0.16
]

Теперь сложим вероятности:

[
P(A_2) = P(A_1 \cap A_2) + P(A_1^c \cap A_2) = 0.72 + 0.16 = 0.88
]

Таким образом, шансы на выживание хотя бы одного пациента составляют 0.88, а вероятность выживания обоих пациентов — 0.72. Использование условной вероятности здесь позволяет нам правильно учитывать взаимосвязи между результатами различных испытаний.