Предположение о том, что любое непрерывное отображение от замкнутого отрезка ( [a, b] ) в себя имеет неподвижную точку, является следствием теоремы Больцано — Вейерштраса и теоремы о неподвижной точке Броуэра.

Доказательство

Для начального понимания, предположим, что ( f: [a, b] \to [a, b] ) — непрерывное отображение. Мы хотим показать, что существует ( x \in [a, b] ) такое, что ( f(x) = x ).

Определение функции: Рассмотрим функцию ( g(x) = f(x) - x ). Заметим, что ( g ) является непрерывной функцией, так как разность непрерывных функций является непрерывной.

Границы функции: Теперь проанализируем значения функции ( g ) на границах отрезка:

Если ( g(a) ) и ( g(b) ) имеют разные знаки, то по теореме о промежуточном значении (которая в свою очередь следует из непрерывности функции ( g )) существует некоторый ( c \in (a, b) ), такой что ( g(c) = 0 ). Это значит, что ( f(c) = c ).Если ( g(a) \geq 0 ) и ( g(b) \geq 0 ), то ( f(a) \geq a ) и ( f(b) \geq b ). Поскольку ( f ) принимает значения только в интервале ( [a, b] ), значения функции ( f ) где-то в этом интервале также должны пересекаться с прямой ( y = x ), если функция ( f(x) ) будет подниматься выше ( y=x ) в какой-то момент на отрезке.

Таким образом, взяв в расчет все возможные случаи (где ( g(a) ) и ( g(b) ) имеют одинаковые знаки или разные) мы можем заключить, что существует ( x \in [a, b] ) такое, что ( f(x) = x ).

Задействованные теоремы

Теорема о промежуточном значении: Эта теорема утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и принимает различные значения на концах этого отрезка, то она принимает любое значение между ними хотя бы один раз. Это ключевой инструмент в доказательстве существования неподвижной точки.

Теорема Броуэра о неподвижной точке: Эта теорема утверждает, что любое непрерывное отображение из компакта в себя (в данном случае, отрезок ( [a, b] ) является компактным) имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Таким образом, рассмотренное выше доказательство является конкретным применением этих теорем в рамках задачи о неподвижной точке на отрезке.