Предел функции ( f(x) ) при ( x ) стремящемся к бесконечности (или минус бесконечности) позволяет определить поведение функции на «бесконечно удаленной» точке. Для рациональных функций, которые имеют вид

[
f(x) = \frac{p(x)}{q(x)},
]

где ( p(x) ) и ( q(x) ) — многочлены, предел при ( x \to \infty ) можно вычислить следующим образом:

Степени многочленов: Сначала определим степени многочленов ( p(x) ) и ( q(x) ). Обозначим степень ( p(x) ) как ( n ) и степень ( q(x) ) как ( m ).

Сравнение степеней:

Если ( n < m ), то ( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 ).Если ( n = m ), то ( \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{a}{b} ), где ( a ) и ( b ) — ведущие коэффициенты многочленов ( p(x) ) и ( q(x) ) соответственно.Если ( n > m ), то ( \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty ) (или ( -\infty ) в зависимости от знака).Пример

Рассмотрим функцию:

[
f(x) = \frac{3x^2 + 2x + 1}{5x^2 - x + 4}.
]

Здесь степень числителя ( n = 2 ), а степень знаменателя ( m = 2 ). Поскольку ( n = m ), то мы можем найти предел следующим образом:

[
\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{3}{5}.
]

Асимптотические линии

Асимптотические линии — это линии, к которым график функции приближается, когда переменная стремится к бесконечности. В случае рациональных функций асимптоты могут быть:

Горизонтальные асимптоты: установленные во время нахождения предела ( \lim_{x \to \infty} f(x) ).Вертикальные асимптоты: возникают в точках, где знаменатель функции обращается в ноль (при условии, что числитель в этой точке не равен нулю).Метод нахождения асимптотДля горизонтальных асимптот: используйте предел функции при ( x \to \pm\infty ) как описано выше.Для вертикальных асимптот: найдите корни знаменателя ( q(x) = 0 ) и проверьте поведение функции в этих точках.

В заключение, анализ пределов и асимптот позволяет понять поведение рациональных функций на бесконечности, а также может помочь в графическом изображении и интерпретации этих функций.