Выбор координатной системы является важным шагом при решении геометрических задач, так как она может значительно упростить вычисления и привести к более наглядным выводам. Правильная система координат позволяет минимизировать количество вычислений, а также упростить запись уравнений и взаимосвязей.

Пример

Рассмотрим задачу о нахождении площади треугольника, вершины которого имеют координаты ( A(1, 2) ), ( B(4, 3) ) и ( C(1, 5) ).

Шаг 1: Найдем площадь треугольника в исходной системе координат.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
]

Подставим значения координат:

( A(1,2) ) -> ( x_1 = 1, y_1 = 2 )( B(4,3) ) -> ( x_2 = 4, y_2 = 3 )( C(1,5) ) -> ( x_3 = 1, y_3 = 5 )

Тогда площадь будет равна:

[
S = \frac{1}{2} \left| 1(3 - 5) + 4(5 - 2) + 1(2 - 3) \right|
]
[
S = \frac{1}{2} \left| 1(-2) + 4(3) + 1(-1) \right| = \frac{1}{2} \left| -2 + 12 - 1 \right| = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5
]

Шаг 2: Используем сдвиг координат.

Теперь применим сдвиг координат. Переносим систему координат так, чтобы одна из вершин, скажем, ( A ), находилась в начале координат, то есть выполним сдвиг на ( (-1, -2) ).

Координаты вершин изменятся на:

( A'(0, 0) )( B'(3, 1) ) (( 4 - 1, 3 - 2 ))( C'(0, 3) ) (( 1 - 1, 5 - 2 ))

Теперь у нас есть новый треугольник с вершинами ( A'(0, 0) ), ( B'(3, 1) ), ( C'(0, 3) ).

Теперь можем применить ту же формулу для расчета площади:

[
S' = \frac{1}{2} \left| 0(1 - 3) + 3(3 - 0) + 0(0 - 1) \right|
]
[
S' = \frac{1}{2} \left| 0 + 9 + 0 \right| = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5
]

Вывод

В этом примере мы видим, что с помощью выбора удобной координатной системы (в данном случае сдвига координат) вычисления становятся проще и более наглядными. Сдвиг позволил быстро вывести вершину треугольника в начало координат, что упростило формулу для площади, исключив лишние операции.

Таким образом, выбор координатной системы прямо влияет на удобство и простоту выполняемых вычислений.