Ряд гармонический — это ряд, сумма которого определяется как:

[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
]

Чтобы показать, что этот ряд расходится, можно рассмотреть несколько подходов:

1. Доказательство через интеграл

Рассмотрим функцию ( f(x) = \frac{1}{x} ). Можно показать, что ряд расходится, сравнив его с соответствующим интегралом:

[
\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx
]

Подсчитаем этот интеграл:

[
\int1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx = \lim{t \to \infty} \left[ \ln x \right]1^t = \lim{t \to \infty} (\ln t - \ln 1) = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
]

Таким образом, так как интеграл расходится, можно сделать вывод, что и ряд тоже расходится.

2. Доказательство через группировку

Можно сгруппировать члены ряда следующим образом:

[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \left( \frac{1}{1} \right) + \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) + \ldots
]

Группировка выглядит так:

1-й член: ( \frac{1}{1} = 1 )2-й член: ( \frac{1}{2} )3-4-й члены: ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} )5-8-е члены: ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2} )

Таким образом, можно видеть, что сумма членов в каждой группе становится ( > \frac{1}{2} ) для каждой группы, начиная с третьей. Так как групп сумма начинает с 1 и далее к каждой группе добавляется по ( \frac{1}{2} ), ряд расходится.

3. Доказательство через сравнение с логарифмом

Сравним ряд гармонический с логарифмической функцией. Мы уже видели, что:

[
\int_1^n \frac{1}{x} \, dx = \ln n
]

Это означает, что сумма гармонического ряда растет и ведет к бесконечности, как и логарифмическая функция:

[
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim \ln n \to \infty, \text{ когда } n \to \infty
]

Такой подход связывает поведение ряда с логарифмом, показывая, что сумма будет расти бесконечно.

Заключение

Все три метода демонстрируют, что гармонический ряд расходится. Доказательство через интеграл и сравнение с логарифмом предоставляет более формальную основу, в то время как группировка представляется более интуитивно понятным способом. Каждый метод имеет свои преимущества в зависимости от контекста и целей анализа.