Для начала рассмотрим ситуацию, в которой студент предполагает, что выражение ( f(x) = x^2 - 4x + 3 ) всегда положительно при всех ( x \in \mathbb{R} ). Однако это предположение неверное. Давайте разберем этот случай с использованием системного подхода к анализу знака выражений.

Шаг 1: Понять выражение

Первым делом, нам нужно понять, каково данное выражение. Это квадратный trinomial (треугольное выражение), и его можно записать в виде:

[ f(x) = (x - 1)(x - 3) ]

Шаг 2: Нахождение корней

Следующий шаг — найти корни этого выражения, чтобы определить точки изменения знака. Корни находятся из равенства:

[ x^2 - 4x + 3 = 0 ]

Решив уравнение, получим корни:

[ x_1 = 1, \quad x_2 = 3 ]

Шаг 3: Анализ интервалов

Далее, разбиваем числовую прямую на интервалы в соответствии с найденными корнями:

( (-\infty, 1) )( (1, 3) )( (3, +\infty) )Шаг 4: Определение знака на интервалах

Теперь нужно определить знак выражения ( f(x) ) на каждом из интервалов. Для этого выбираем тестовые точки из каждого из интервалов:

Для интервала ( (-\infty, 1) ), возьмем ( x = 0 ):
[
f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 \quad (\text{положительно})
]

Для интервала ( (1, 3) ), возьмем ( x = 2 ):
[
f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \quad (\text{отрицательно})
]

Для интервала ( (3, +\infty) ), возьмем ( x = 4 ):
[
f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \quad (\text{положительно})
]

Шаг 5: Составление таблицы знаков

Теперь можно подвести итоги по найденным знакам:

[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & \text{Знак } f(x) \
\hline
(-\infty, 1) & + \
(1, 3) & - \
(3, +\infty) & + \
\hline
\end{array}
]

Шаг 6: Заключение

Теперь, когда мы проанализировали знаки на выбранных интервалах, можно сделать вывод о знаке выражения ( f(x) ):

( f(x) > 0 ) на интервалах ( (-\infty, 1) ) и ( (3, +\infty) )( f(x) < 0 ) на интервале ( (1, 3) )( f(1) = 0 ) и ( f(3) = 0 ) (выражение равно нулю в этих точках)

Таким образом, мы показали, что утверждение студента о том, что ( f(x) ) всегда положительно, является неверным. Этот системный подход помогает правильно анализировать знаки выражений и избегать ошибок.