Сравнение декомпозиции матрицы по сингулярным значениям (SVD) и спектральной разложимости (EVD) может быть уточнено, если рассмотреть назначения и условия применения каждой из этих техник.

Декомпозиция по сингулярным значениям (SVD)

Определение: SVD представляет любую матрицу ( A ) размера ( m \times n ) в виде произведения трех матриц:
[
A = U \Sigma V^T
]
где:

( U ) — ортогональная матрица размера ( m \times m ) (левые сингулярные векторы),( \Sigma ) — диагональная матрица с неотрицательными значениями (сингулярные числа) размером ( m \times n ),( V ) — ортогональная матрица размера ( n \times n ) (правые сингулярные векторы).

Когда полезно:

Не квадратные матрицы: SVD может использоваться для любых матриц, независимо от их формы.Ранжирование: Полезно для уменьшения размерности, например, в задачах машинного обучения (PCA).Обработка шумов: SVD помогает выделить «главные» компоненты, игнорируя шумы.Численная стабильность: Подходит для решения задач, связанных с плохо обусловленными матрицами.Спектральная разложимость (EVD)

Определение: EVD делит квадратную матрицу ( A ) размера ( n \times n ) на произведение:
[
A = P D P^{-1}
]
где:

( P ) — матрица собственных векторов (каждая колонка — собственный вектор),( D ) — диагональная матрица собственных значений.

Когда полезно:

Квадратные матрицы: EVD применяется только к квадратным матрицам.Диагонализируемость: Полезно, когда матрица диагонализируема (для большинства симметричных и нормальных матриц).Анализ систем: EVD подходит для анализа линейных систем и изучения их устойчивости.Оптимизация: Используется в задачах оптимизации, где требуется максимизация или минимизация квадратичных форм.Сравнение

Тип матриц:

SVD: применима к любым матрицам.EVD: требует, чтобы матрица была квадратной и, желательно, диагонализируемой.

Устойчивость и интерпретация:

SVD: Стойка к шумам и ошибкам в данных, так как сингулярные значения всегда неотрицательны.EVD: Более информативна для анализа свойств квадратичных форм, но может быть менее устойчива к perturbation.

Применение в практике:

SVD: Распространена в задачах уменьшения размерности (например, в машинном обучении, обработке изображений).EVD: Используется в решении дифференциальных уравнений, теории управления и других областях, где важны свойства собственных значений.

Каждая из этих разложений имеет свои уникальные применения, и выбор между ними зависит от конкретных условий задачи.