Критерии сходимости последовательностей случайных величин имеют важное значение в теории вероятностей и математической статистике. Рассмотрим различные типы сходимости: в распределении, в вероятности, почти наверное и в среднем.

1. Сходимость в распределении

Случайные величины (X_n) сходятся к случайной величине (X) в распределении (или по слабой конвергенции), если для любой непрерывной функции (f) из (L^1) выполняется:

[
\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[f(X_n)] = \mathbb{E}[f(X)].
]

Это также можно выразить в терминах функций распределения: (F_{X_n}(x) \to F_X(x)) для всех (x), в которых (F_X) непрерывна.

Пример: Пусть (X_n) - случайные величины, равномерно распределенные на интервале ([0, 1/n]). Тогда (X_n \xrightarrow{d} 0).

2. Сходимость в вероятности

Случайные величины (X_n) сходятся к (X) в вероятности, если для любого (\epsilon > 0):

[
\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \epsilon) = 0.
]

Это означает, что с ростом (n) вероятность того, что (X_n) и (X) отличаются более чем на (\epsilon), становится все меньше.

Пример: Пусть (X_n \sim N(0, 1/n)) (нормальное распределение со средним 0 и дисперсией (1/n)). Тогда (X_n \xrightarrow{P} 0).

3. Почти наверное (или по условий Дербена)

Сходимость (X_n) к (X) почти наверное (с вероятностью 1) означает:

[
\mathbb{P}\left(\lim_{n \to \infty} X_n = X\right) = 1.
]

Это более сильный критерий, чем сходимость в вероятности.

Пример: Пусть (X_n = \frac{1}{n}) для (n = 1, 2, 3, \ldots). Тогда (X_n \xrightarrow{a.s.} 0).

4. Сходимость в среднем (или в L^p)

Случайные величины (X_n) сходятся к (X) в среднем (в пространстве (L^p)), если:

[
\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[|X_n - X|^p] = 0.
]

Наиболее часто рассматриваемый случай — это (p=1) и (p=2).

Пример: Если (X_n \sim N(0, 1/n)), то (X_n \xrightarrow{L^2} 0).

Отличающие примеры сходимости

Сходимость в распределении, но не в вероятности: Рассмотрим (X_n) равномерно распределенные на ([0, 1/n]). (X_n \xrightarrow{d} 0), но не сходятся в вероятности, так как значение (X_n) не уходит к 0, а остается внутри интервала.

Сходимость в вероятности, но не почти наверное: Пусть (X_n) равномерно распределены на ([0, 1]). (X_n \xrightarrow{P} 0), но не сходятся почти наверное, поскольку для произвольной (\epsilon), (X_n) могут оставаться в пределах [0, 1].

Сходимость почти наверное, но не в вероятности: Если (Y_n) случайные величины, которые равны 0 с вероятностью (1 - \frac{1}{n}) и равны 1 с вероятностью (\frac{1}{n}), то (Y_n \xrightarrow{a.s.} 0), но не сходятся в вероятности, так как вероятность, что (Y_n = 1), не уходит на 0.

Эти примеры подчеркивают различия между типами сходимости и помогают лучше понять, когда и как различные формы сходимости применяются в теории вероятностей.