Чтобы доказать, что любое ограниченное монотонно возрастающее множество чисел имеет супремум, можно обратиться к основным свойствам действительных чисел и, в частности, к аксиоме полноты.

Способы доказательства:

Определение супремума: Супремумом (наименьшей верхней границей) множества (A) называется такое число (s), что:

Для любого (a \in A) выполняется (a \leq s).Для любого (\epsilon > 0) существует элемент (a \in A) такой, что (s - \epsilon < a).

Построение супремума: Пусть (A = {a_n}) – ограниченное монотонно возрастающее множество, т.е. (a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \ldots). Поскольку множество (A) ограничено сверху, существует хотя бы одно верхнее ограничение для (A) (например, (M)).

Определим число (s = \sup A) как наименьшую верхнюю границу для множества (A). Поскольку (A) монотонно растет и ограничено, все элементы множества (A) будут приближаться к (s) (включая элементы, находящиеся в (A)).

Свойство монотонности: Так как (A) монотонно возрастающее, его предел (или супремум) будет достигнут при стремлении увеличиваться к пределу. Поскольку (A) ограничено, граница существует.

Связь с аксиомой полноты:

Аксиома полноты действительных чисел утверждает, что каждое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет наименьшую верхнюю границу. Доказательство о существовании супремума для ограниченных монотонно возрастающих множеств формально подтверждает эту аксиому.

Полнота: Если бы действительные числа не были полными, могли бы существовать ограниченные множества, у которых нет супремума. Однако, поскольку каждая последовательность, которая монотонно возрастает и ограничена, стремится к своей верхней границе, мы видим полное соответствие с аксиомой, что реализует данное свойство.

Таким образом, существование супремума для ограниченного монотонно возрастающего множества не только обосновывает его, но и служит иллюстрацией аксиомы полноты действительных чисел, подтверждая важность этой аксиомы в анализе свойств чисел.