Утверждение студента, что для любых квадратных матриц ( A ) и ( B ) одинакового размера выполняется равенство ( A \cdot B = B \cdot A ), неверно. В общем случае умножение матриц некоммутативно, то есть порядок умножения матриц имеет значение.

Умножение матриц не всегда сохраняет порядок, и в общем случае для двух матриц ( A ) и ( B ) не обязательно верно, что ( A \cdot B = B \cdot A ). Это происходит из-за свойств линейных преобразований, которые все матрицы представляют: в общем случае, применение одного преобразования (представленного матрицей) не обязательно совпадает с применением другого в обратном порядке.

Простой пример с 2x2 матрицами:

Рассмотрим следующие матрицы:
[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix}
]

Посчитаем произведение ( A \cdot B ):
[
A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{pmatrix}
]

Теперь посчитаем произведение ( B \cdot A ):
[
B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 + 6 \cdot 3 & 5 \cdot 2 + 6 \cdot 4 \ 7 \cdot 1 + 8 \cdot 3 & 7 \cdot 2 + 8 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \ 41 & 70 \end{pmatrix}
]

Как видно, ( A \cdot B \neq B \cdot A ).

Другой пример с 2x2 матрицами:

Рассмотрим матрицы:
[
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}
]

Считаем ( A \cdot B ):
[
A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}
]

Теперь считаем ( B \cdot A ):
[
B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}
]

В этом случае, произведения совпали, однако это не показывает, что коммутативность всегда выполняется. Например, если мы поменяем матрицы, такие как:
[
C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}
]
здесь будет
[
C \cdot D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad D \cdot C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}
]
что также доказывает неравенство.

Таким образом, можно сделать вывод, что в общем случае для двух квадратных матриц ( A ) и ( B ) коммутативность ( A \cdot B = B \cdot A ) не выполняется.