Для выбора подстановки при интегрировании выражения, содержащего корень из многочлена третьей степени, следует учитывать форму многочлена и его корни.

1. Подстановка

Существует несколько подходов для подстановки, в зависимости от конкретной формы многочлена:

Форма ( ax^3 + bx^2 + cx + d ): Для многочлена третьей степени, чаще всего полезно использовать подстановку, основанную на корнях этого многочлена. Если один из корней легко определим, можно использовать подстановку вида ( u = x - r ), где ( r ) — корень многочлена. Это часто упрощает выражение под знаком корня.

Стандартное уравнение: Если многочлен можно привести к стандартной форме ( u^3 + pu + q ), можно использовать подстановку Кардано, что помогает упростить корень и привести уравнение к более простому виду.

2. Тригонометрическая подстановка

Тригонометрическая подстановка полезна в случаях, когда под корнем находится выражение с квадратом, например:

Если у вас есть ( \sqrt{a^2 - x^2} ), то можно использовать подстановку ( x = a \sin(\theta) ).Если есть ( \sqrt{x^2 - a^2} ), можно использовать ( x = a \sec(\theta) ).Для выражений типа ( \sqrt{x^2 + a^2} ), часто используют ( x = a \tan(\theta) ).

Однако при корне из многочлена третьей степени тригонометрическая подстановка обычно не является предпочтительной, так как многочлены третьей степени могут приводить к более сложным тригонометрическим выражениям. В таких случаях лучше использовать алгебраические подстановки или методы интегрирования, специфичные для многочленов.

Применение

Для каждого конкретного интеграла анализируйте:

Какой вид имеет многочлен.Есть ли простые корни.Можно ли упростить многочлен до более простой формы.

Сформулировав корректную подстановку, вы облегчите вычисление интеграла. Но помните, что иногда лучше использовать численные методы интегрирования, если аналитическое решение становится слишком сложным.