Утверждение, что если функция ( f ) интегрируема, то её квадрат ( f^2 ) тоже интегрируем, не является общепринятым и требует уточнений. В частности, необходимо учитывать, на каком множестве мы рассматриваем интеграцию, и что мы имеем в виду под «интегрируемостью».

Для функции ( f ) в пространстве ( L^1 ) (интегрируемая по Лебегу, например), действительно верно, что если ( f ) интегрируема на множестве ( A ) (то есть ( \int_A |f| \, dx < \infty )), это не гарантирует, что ( f^2 ) интегрируема. Например, рассмотрим функцию:

[
f(x) = \frac{1}{x} \text{ на } (0, 1).
]

Эта функция интегрируема, так как:

[
\int_0^1 \left| f(x) \right| \, dx = \int_0^1 \frac{1}{x} \, dx = \infty,
]

однако:

[
\int_0^1 f^2(x) \, dx = \int_0^1 \frac{1}{x^2} \, dx = \infty.
]

Таким образом, в данном случае сам квадратичный интеграл не существует. Однако, если функция ( f ) интегрируема и дополнительно ограничена или непрерывна почти всюду, то ( f^2 ) также будет интегрируемой.

Условия, при которых утверждение верно:Объём ( A ): Если интегрирование происходит на компактном множестве, то это может улучшить ситуацию.Легкие условия на ( f ): Если ( f \in L^1 ) и ( |f|^2 ) интегрируема, тогда можно сказать, что ( f ) интегрируема делает и ( f^2 ) интегрируемым, если ( |f| ) ограничено.

Форма исключения:

Функция ( f ): если ( f ) непрерывна и ограничена, тогда ( f^2 ) будет интегрируемой.Если ( f ) интегрируема и её модуль удается ограничить некоторой константой, согласно свойствам интеграла.

Потому, мы видим, что утверждение не всегда верно, и необходимо учитывать определенные условия, при которых оно может истинно.