Диагонализируемость матрицы и её минимальный многочлен имеют тесную связь, которую можно исследовать через спектр матрицы и её корни.

Основные понятия:

Диагонализируемая матрица: матрица ( A \in \mathbb{C}^{n \times n} ) называется диагонализируемой, если существует такая база пространства, в которой матрица представима в виде диагональной.Минимальный многочлен: Минимальный многочлен матрицы ( A ) — это полином ( m_A(x) ) минимальной степени, такой что ( m_A(A) = 0 ).

Условия диагонализируемости:

Матрица ( A ) является диагонализируемой тогда и только тогда, когда её минимальный многочлен может быть представлен в виде произведения различных линейных множителей:
[
m_A(x) = (x - \lambda_1)^{k_1} (x - \lambda_2)^{k_2} \cdots (x - \lambda_r)^{k_r}
]
где ( \lambda_i ) – собственные значения матрицы, а ( k_i = 1 ) для всех ( i ).

Структура Жордановой формы:

Если минимальный многочлен имеет кратные корни, то это указывает на наличие ненормализируемых собственных векторов и, соответственно, на существование блоков Жордана в жордановой форме матрицы.Каждый корень минимального многочлена соответствует собственному значению матрицы, а его кратность определяет размер соответствующих блоков Жордана. Например, если для некоторого собственного значения ( \lambda ) минимальный многочлен имеет степень ( k ), то это значит, что в жордановой форме будут блоки, размеры которых не превосходят ( k ).

Пример:

Рассмотрим матрицу ( A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \ 0 & 5 \end{pmatrix} ). Собственное значение ( \lambda = 5 ) имеет кратность 2 (так как его характеристический многочлен — ( (x - 5)^2 )), но минимальный многочлен будет ( m_A(x) = (x - 5)^2 ) (поскольку для матрицы достаточно одного из векторов, чтобы добиться ( m_A(A) = 0 )). Это указывает на наличие единственного блока Жордана размером 2.

Таким образом, минимальный многочлен является важным инструментом для изучения структуры матрицы, позволяя определить как диагонализируемость матрицы, так и её жорданову форму.