При вычислении площади треугольника по координатам его вершин есть два основных метода: формула Герона и метод с использованием определителя.

Формула Герона:
Для треугольника с длинами сторон (a), (b) и (c) площадь можно вычислить по формуле:
[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
]
где (s = \frac{a+b+c}{2}) — полупериметр треугольника.

Определитель координат:
Если вершины треугольника имеют координаты ((x_1, y_1)), ((x_2, y_2)) и ((x_3, y_3)), площадь может быть найдена по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|
]

Метод с использованием определителя (векторный метод) обычно оказывается более устойчивым к погрешностям, и вот почему:

Избегание вычислений с длинными числами: Формула Герона требует сначала вычислить длины сторон треугольника, что может привести к потере точности при вычислениях, особенно если треугольник «плоский», и стороны близки по длине.

Избыток корней: Метод Герона подразумевает использование квадратного корня, что может быть чувствительно к неопределенностям в длинах сторон и, следовательно, к погрешностям при вычислениях.

Линейные операции: Определитель вычисляется через линейные операции с координатами, которые обычно проще и менее склонны к ошибкам с учетом округления. Он менее чувствителен к изменениям, особенно в случае компактных треугольников.

Таким образом, метод с определителем координат становится предпочтительным вариантом, особенно в случае, когда есть риск значительных погрешностей в вычислении длин сторон.