Приближенное вычисление корней нелинейных уравнений — это важная задача в численном анализе, и существует несколько методов для её решения. Два популярных метода — это метод Ньютона и метод секущих. Рассмотрим каждый из них подробнее.

1. Метод Ньютона

Метод Ньютона (или метод Ньютона-Рафсона) основан на использовании производной функции. Для нахождения корня уравнения ( f(x) = 0 ) рассматривается итерационная формула:

[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
]

Где ( x_n ) — текущее приближение, ( f(x_n) ) — значение функции в точке ( x_n ), а ( f'(x_n) ) — значение производной функции в этой точке.

Сходимость:

Метод Ньютона имеет квадратичную сходимость при условии, что начальное приближение достаточно близко к истинному корню и функция удовлетворяет условиям регулярности (то есть, производная не равна нулю в окрестности корня).Квадратичная сходимость означает, что точность решения удваивается на каждой итерации.2. Метод секущих

Метод секущих является одним из упрощенных методов, который не требует вычисления производных. Он использует два предыдущих приближения для получения следующего:

[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) (xn - x{n-1})}{f(xn) - f(x{n-1})}
]

Как видно, этот метод использует значения функции в двух предыдущих точках и строит секущую линию.

Сходимость:

Метод секущих имеет суперлинейную сходимость, которая обычно быстрее, чем линейная, но медленнее, чем квадратичная.Сходимость также зависит от выбора начальных приближений, и, в некоторых случаях, метод может не сойтись.Сравнение на практических примерах

Рассмотрим функцию ( f(x) = x^3 - 2x - 5 ) и будем искать его корень в диапазоне ( [2, 3] ).

Пример 1: Метод НьютонаВыбираем начальное приближение ( x_0 = 2.5 ).Вычисляем производную: ( f'(x) = 3x^2 - 2 ).Итерации:
( x_1 = 2.5 - \frac{f(2.5)}{f'(2.5)} )( x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} )Продолжаем до сходимости.Пример 2: Метод секущихВыбираем два начальных приближения ( x_0 = 2 ) и ( x_1 = 3 ).Итерации:
( x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)(x_1 - x_0)}{f(x_1) - f(x_0)} )( x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)(x_2 - x_1)}{f(x_2) - f(x_1)} )Продолжаем до сходимости.Выводы:Скорость сходимости: Метод Ньютона в целом будет сойтись быстрее (квадратичная сходимость), если выбрано удачное начальное приближение. Метод секущих обычно требует больше итераций, но может быть предпочтительным, когда вычисление производной сложно или невозможно.Проблемы: Метод Ньютона может не сойтись, если производная равна нулю или если начальное приближение далеко от корня. Метод секущих может столкнуться с проблемами, если у нас есть плохой выбор начальных точек.

Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки, и выбор метода часто зависит от конкретной задачи и условий.