Гармонический ряд — это бесконечная сумма вида:

[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots
]

Интуитивно, чтобы понять, почему этот ряд расходится, можно провести аналогию с "разделением" единицы на много мелких частей. Для того чтобы понять, почему сумма бесконечно малых величин может и не сойтись, рассмотрим как быстро растет количество слагаемых с увеличением ( n ). Когда мы прибавляем все более мелкие дроби, хотя каждая отдельная дробь становится меньше, общее количество слагаемых растет.

Теперь давайте перейдем к классическому доказательному подходу.

Доказательство от противного

Одним из самых известных способов доказать расходимость гармонического ряда является следующий метод:

Сгруппируем слагаемые ряда:

Мы можем сгруппировать слагаемые следующим образом:

[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \left( 1 \right) + \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) + \ldots
]

Группы слагаемых образуются по следующему принципу:

1 слагаемое из первой группы,1 слагаемое из второй группы,2 слагаемых из третьей группы,4 слагаемых из четвертой группы,и так далее.

Оценим каждую группу:

Теперь давайте оценим каждую из этих групп:

Первая группа: ( 1 )Вторая группа: ( \frac{1}{2} )Третья группа: ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ) (всего 2 слагаемых, каждое не больше ( \frac{1}{3} ), значит их сумма не больше ( \frac{2}{3} ))Четвертая группа: ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} ) (всего 4 слагаемых, каждое не больше ( \frac{1}{5} ), значит их сумма не больше ( \frac{4}{5} ))

В общем, ( k )-я группа имеет ( 2^{k-1} ) слагаемых, и каждый из них не превышает ( \frac{1}{2^k} ). Таким образом, сумма ( k )-й группы будет не меньше ( \frac{2^{k-1}}{2^k} = \frac{1}{2} ).

Суммируем группы:

Сумма всех групп будет:

[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \ldots
]

Это — бесконечное количество ( \frac{1}{2} ) (от третьей группы и далее), что указывает на то, что сумма неограниченно увеличивается.

Таким образом, мы приходим к выводу, что гармонический ряд расходится, так как его сумма может быть оценена как бесконечная.