Для вычисления предела последовательности, заданной рекуррентно как ( a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} ) при ( a_1 = 1 ), мы начнем с поиска предела ( L ) этой последовательности. Предположим, что последовательность сходится к некоторому пределу ( L ). Тогда по определению предела мы можем записать:

[
L = \sqrt{2 + L}
]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

[
L^2 = 2 + L
]

Переместим все члены в одну сторону:

[
L^2 - L - 2 = 0
]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

[
L = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}
]

Таким образом, получаем два корня:

[
L_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad L_2 = \frac{-2}{2} = -1
]

Так как ( a_n ) определяется через квадратный корень, все члены последовательности положительны. Таким образом, мы можем отбросить ( L_2 = -1 ) и оставить только ( L = 2 ).

Теперь нужно показать, что последовательность действительно сходится к этому пределу. Мы будем использовать монотонность и ограниченность последовательности.

Проверка начального значения:

( a_1 = 1 ).

Показать, что последовательность возрастает:

Предположим, что ( a_n < 2 ) (это верно для ( a1 = 1 )):
[
a{n+1} = \sqrt{2 + a_n} < \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2.
]
Предположим также, что ( an < a{n+1} ):
[
a_{n+1} - a_n = \sqrt{2 + a_n} - a_n > 0.
]
Для этого нам нужно показать, что:
[
\sqrt{2 + a_n} > a_n.
]
Квадратируем обе стороны:
[
2 + a_n > a_n^2 \Leftrightarrow a_n^2 - a_n - 2 < 0.
]
Это неравенство выполняется на интервале между корнями ( L_1 = 2 ) и ( L_2 = -1 ). Так как последовательность начинается с ( a_1 = 1 < 2 ), утверждение верно для всех ( n ): последовательность возрастает.

Показать, что последовательность ограничена сверху:

Мы уже показали, что если ( an < 2 ), то ( a{n+1} < 2 ). Следовательно, последовательность ограничена сверху.

Поскольку последовательность ( a_n ) возрастает и ограничена сверху, она сходится. По найденному пределу мы утверждаем, что:

[
\lim_{n \to \infty} a_n = 2.
]

Таким образом, предел заданной рекуррентной последовательности равен ( 2 ).