Утверждение "в любом множестве из 6 человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых" является частным случаем теоремы Рамсея, которая утверждает, что в любом графе с достаточно большим числом вершин существуют определённые подструктуры, такие как полные подграфы или независимые подмножества.

Графы и отношения: Мы можем представить людей как вершины графа, а знакомство между ними как ребра. Если два человека знакомы, мы соединяем их ребром. Если не знакомы — ребро отсутствует.

Цветование рёбер: В теореме Рамсея важно представлять рёбра графа как окрашенные. В нашем случае, рёбра могут быть окрашены в два цвета: например, красный (если два человека знакомы) и синий (если незнакомы). Таким образом, задача сводится к поиску одноцветного треугольника в окрашенном графе.

Комбинаторные размышления: Чтобы понять, почему в группе из 6 человек существует либо трое знакомых, либо трое незнакомых, мы можем воспользоваться методом противоречия. Предположим, что у нас нет ни одной группы из трёх знакомых и ни одной группы из трёх незнакомых. Для любого человека мы можем указать, с кем из остальных пяти он знаком или незнаком. Разделим 5 оставшихся людей на группы знакомых и незнакомых.

Парадокс дружбы: Из шести человек, даже если мы попытаемся разделить их на знакомых и незнакомых, в процессе не удастся избежать формирования необходимых групп. Через анализ всех возможных комбинаций можно вывести, что рано или поздно возникнет либо группа из трёх знакомых, либо группа из трёх незнакомых.

Рассмотрим одного из шести человек, назовем его A. У него может быть максимум 5 других человек (B, C, D, E, F). У A либо 3 знакомых, либо 3 незнакомых.

Случай 1: Допустим, A знаком с тремя людьми (например, B, C и D) и незнаком с двумя (E и F). Тогда, поскольку B, C и D знакомы с A, хотя бы один из них должен быть знаком с ещё одним из них. Это создаёт группу из трёх знакомых.

Случай 2: Если A незнаком с тремя, тогда E, F и один из тех, с кем знаком A, станут группой из трёх незнакомых.

В любом случае, мы приходим к выводу, что в группе из 6 человек обязательно будет тройка либо из знакомых, либо из незнакомых.

Таким образом, утверждение подтверждается. Это демонстрирует более обширный принцип, выраженный в теореме Рамсея, который говорит о том, что в больших системах всегда присутствуют определённые структуры, даже если в них пытаются избежать их возникновения.

Таким образом, идеи Рамсея включают в себя исследование отношений, графовые модели, цветование и принцип «парадокса дружбы», который заключает в себе комбинаторные аспекты и избегание противоречий.