Существование бесконечного множества простых чисел — это один из основных результатов в теории чисел, и его доказательство восходит к древнегреческому математику Евклиду. Вот краткий обзор нескольких известных доказательств этого факта.

Доказательство ЕвклидаПредположение: Пусть существует конечное множество простых чисел, например, ( p_1, p_2, \ldots, p_n ).Формируем новое число: Рассмотрим число ( N = p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n + 1 ). Это число не делится ни на одно из простых чисел ( p_i ) (так как при делении на ( p_i ) остается остаток 1).Простота нового числа:
Либо ( N ) является простым числом, либо оно составное.Если ( N ) простое, то оно не содержится в нашем исходном списке, что противоречит предположению о том, что мы перечислили все простые числа.Если ( N ) составное, то по крайней мере одно простое число должно делить его, но это простое число не может быть одним из ( p_i ) по той же причине, что и выше.Заключение: Следовательно, в любом случае мы приходим к противоречию, и это доказывает, что простых чисел бесконечно много.Другие доказательства

Доказательство с помощью анализа:

Вторая теорема о простых числах утверждает, что количество простых чисел до ( n ) асимптотически приблизительно равно ( \frac{n}{\log n} ). Это означает, что по мере роста ( n ) количество простых чисел также растет бесконечно.

Доказательство через распределение простых чисел:

Используя теоремы о распределении простых чисел, такие как теорема о главном сечении (prime number theorem), можно показать, что простые числа становятся реже, но всё равно никогда не заканчиваются.

Другие подходы:

Есть и другие, более сложные доказательства, включающие элементы комбинаторики, теории чисел, алгебры и анализа. Например, некоторые современные доказательства используют методы из теории графов, топологии и даже теории вероятностей.

Каждое из этих доказательств подтверждает один и тот же результат — существование бесконечного множества простых чисел — с использованием разных математических инструментов и методов.