Формула бинома Ньютона выражает разложение степенной функции и дается следующим образом для целых показателей:

[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k
]

где ( C(n, k) ) — биномиальные коэффициенты. Однако, если показатель ( n ) не является целым (действительное или комплексное число), формула может быть расширена с использованием бесконечного ряда.

Для нецелых показателей ( n ) формула записывается так:

[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{\infty} C(n, k) a^{n-k} b^k,
]

где ( C(n, k) ) определяется через гамма-функцию:

[
C(n, k) = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+1) \Gamma(n-k+1)}.
]

Условия сходимости бесконечного ряда

Для применения бинома Ньютона к нецелым показателям необходимо учитывать условия сходимости данного ряда:

Определение сходимости: Бесконечный ряд (\sum_{k=0}^{\infty} C(n, k) a^{n-k} b^k) будет сходиться, если модуль (|b/a| < 1) (это обеспечит, что члены ряда стремятся к нулю по мере увеличения ( k )). В противном случае ряд может не сходиться или сходиться к бесконечности.

Место степенной функции: Важно помнить, что не все значения ( a ) и ( b ) могут быть использованы. Обычно предполагается, что ( a ) и ( b ) являются вещественными числами, и ( a + b ) не равен нулю.

Применение формулы

Формула бинома Ньютона для нецелых показателей широко используется, например, в теории вероятностей и статистике, финансовых расчетах, а также в различных областях физики и инженерии. Например, если необходимо разложить ( (1 + x)^{-k} = \sum_{n=0}^{\infty} C(-k, n) x^n ) для ( |x| < 1 ) или других подобных выражений.

Таким образом, при работе с формулой бинома Ньютона для нецелых показателей важно учитывать как правильное определение коэффициентов, так и условия сходимости ряда для гарантии корректности результата.