Проверка гладкости и дифференцируемости функции в заданной точке может быть выполнена с использованием различных подходов, в том числе с использованием определения производной и анализа одной и другой стороны функции. Вот несколько методов:

1. Проверка гладкости (н непрерывности)

Для проверки гладкости функции ( f(x) ) в точке ( x_0 ) необходимо убедиться, что функция непрерывна в этой точке:

[
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
]

Если этот предел существует и равен значению функции в точке, то функция гладкая в этой точке.

2. Проверка дифференцируемости

Функция ( f(x) ) называется дифференцируемой в точке ( x_0 ), если существует предел:

[
f'(x0) = \lim{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
]

Если этот предел существует, функция дифференцируема в точке ( x_0 ).

3. Использование левой и правой производной

Чтобы проверить, что функция дифференцируема в точке ( x_0 ), можно сравнить левую и правую производные:

Левая производная:

[
f'_{-}(x0) = \lim{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
]

Правая производная:

[
f'_{+}(x0) = \lim{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
]

Если ( f'_{-}(x0) = f'{+}(x_0) ), то ( f'(x_0) ) существует, и функция дифференцируема в этой точке.

4. Проверка условий дифференцируемости

Также можно использовать следующую условие для проверки дифференцируемости в точке ( x_0 ):

Если существует ( f'_{-}(x0) = \alpha ) и ( f'{+}(x_0) = \alpha ), то также можно проверить, что производная функции ( f(x) ) в точке ( x_0 ) совпадает и с левым, и с правым значением.

5. Применение знаков производных

Если ( f(x) ) имеет производные на интервале вокруг ( x_0 ) и оба предела (левая и правая производные) равны и равны нулю, то функция будет иметь непрерывную производную в точке ( x_0 ).

Заключение

Таким образом, совокупность проверки непрерывности, сравнение левой и правой производных, а также условия существования пределов позволяет достаточно полно оценить гладкость и дифференцируемость функции в заданной точке.