Чтобы доказать, что сумма двух возрастающих функций также является возрастающей, начнем с определения возрастающей функции.

Функция ( f: A \to \mathbb{R} ) называется возрастающей на множестве ( A ), если для любых ( x_1, x_2 \in A ) таких, что ( x_1 < x_2 ), выполняется неравенство ( f(x_1) \leq f(x_2) ).

Обозначим две возрастающие функции как ( f ) и ( g ), причем ( f: A \to \mathbb{R} ) и ( g: A \to \mathbb{R} ) - возрастающие на одном и том же множестве ( A ).

Теперь рассмотрим их сумму:

[
h(x) = f(x) + g(x).
]

Мы хотим показать, что функция ( h(x) ) также является возрастающей. Для этого пусть ( x_1, x_2 \in A ) такие, что ( x_1 < x_2 ). Тогда по свойству возрастающих функций имеем:

[
f(x_1) \leq f(x_2) \quad \text{и} \quad g(x_1) \leq g(x_2).
]

Сложим оба неравенства:

[
f(x_1) + g(x_1) \leq f(x_2) + g(x_2).
]

Это можно записать как:

[
h(x_1) \leq h(x_2).
]

Таким образом, мы получили, что ( h ) также является возрастающей функцией.

Для полной корректности рассуждений, важно учитывать, что функции ( f ) и ( g ) должны быть определены на одном и том же множестве ( A ). Если функции определены на различных множествах, данное утверждение не будет иметь смысла. Кроме того, мы не учитываем влияние на множество ( A ) (например, конечность или открытость), но при обычных условиях ( A ) является подмножеством вещественной прямой, можно считать, что это не вызовет дополнительных проблем.

Таким образом, можно сделать вывод, что сумма двух возрастающих функций, определенных на одинаковом множестве, сама является возрастающей функцией.