Чтобы вычислить объем тела вращения, получаемого вращением графика функции вокруг оси, нужно выбрать подходящий метод — метод шайб (дисков), метод цилиндров или метод площади поверхности. Давайте рассмотрим каждый из этих методов, а затем выберем правильный в зависимости от задачи.

1. Метод дисков (шайб)

Метод дисков применяется, когда график функции вращается вокруг горизонтальной оси. Объем толщины ( \Delta x ) можно выразить как:
[
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx,
]
где ( f(x) ) — функция, описывающая верхнюю границу области, а ( a ) и ( b ) — границы интегрирования.

2. Метод цилиндров

Метод цилиндров удобен, когда график функции вращается вокруг вертикальной оси. Объем с использованием этого метода можно выразить как:
[
V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) \, dx,
]
где ( x ) — расстояние от оси вращения до элемента объема.

3. Метод площади поверхности

Этот метод используется, когда требуется найти объем тела, созданного вращением кривой вокруг оси, но необходимо учитывать толщину элемента (например, при большом радиусе или сложном графике). Формула имеет вид:
[
V = 2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + \left( \frac{df}{dx} \right)^2} \, dx,
]
где ( \sqrt{1 + \left( \frac{df}{dx} \right)^2} ) — длина элемента касательной.

Выбор методаЕсли функция вращается вокруг горизонтальной оси: Используйте метод дисков, если граница области определяется верхней и нижней функциями, или метод цилиндров, если надо вращать график функции, заданной в терминах ( y ).Если функция вращается вокруг вертикальной оси: Используйте метод цилиндров, если ось вращения лежит параллельно одной из координатных осей.Если необходимо учитывать сложные формы или кривизну, тогда целесообразно использовать метод площади поверхности.Пример

Рассмотрим функцию ( f(x) = \sqrt{x} ) на интервале ( [0, 1] ), вращающуюся вокруг оси ( Ox ). Мы применяем метод шайб:

Объем:
[
V = \pi \int{0}^{1} [\sqrt{x}]^2 \, dx = \pi \int{0}^{1} x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}.
]

Если бы функция вращалась вокруг оси ( Oy ), мы бы использовали метод цилиндров, так как функции имеют другое заданное представление.

В зависимости от конкретной задачи, следует выбирать наиболее удобный и очевидный метод для упрощения расчетов.