Интегральный критерий сравнения для положительных рядов позволяет установить сходимость или расходимость ряда на основании свойства интеграла. Он гласит, что если ( f(x) ) — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале ( [1, \infty) ), и если ряд

[
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
]

состоит из членов ( a_n = f(n) ), то:

Если ( \int{1}^{\infty} f(x) \, dx ) сходится, то ряд ( \sum{n=1}^{\infty} a_n ) также сходится.Если ( \int{1}^{\infty} f(x) \, dx ) расходится, то ряд ( \sum{n=1}^{\infty} a_n ) также расходится.Условия корректностиНепрерывность: Функция ( f ) должна быть непрерывной на рассматриваемом интервале.Положительность: Все значения функции ( f(x) ) должны быть положительными.Убывание: Функция ( f(x) ) должна быть убывающей на интервале ( [1, \infty) ).Пример, иллюстрирующий тонкость

Рассмотрим ряд

[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}
]

где ( \alpha > 0 ).

Если ( \alpha \leq 1 ), то ( \int{1}^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} \, dx ) расходится. Следовательно, ряд ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} ) расходитя.Если ( \alpha > 1 ), то ( \int{1}^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} \, dx ) сходится. Следовательно, ряд ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} ) также сходится.

Теперь рассмотрим функцию

[
f(x) = \frac{1}{x^{\ln(x)}}
]

Для ( x \geq 3 ), видно, что ( f(x) ) является положительной и непрерывной, но не является убывающей на ( [1, \infty) ) (обратите внимание на то, как ведёт себя ( \ln(x) )). В этом случае не удастся применить интегральный критерий сравнения корректно, хотя можно показать, например, что ряд ( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^{\ln(n)}} ) расходится.

Таким образом, даже если ряд „выглядит“ похожим на ряд с известной сходимостью или расходимостью, важно проверять условия, при которых срабатывает интегральный критерий сравнения. Имея функции, которые не соблюдают условия (не являются монотонно убывающими), мы можем попасть в ловушку неправильных выводов.