Рассмотрим логарифмическое уравнение:

[
\log(x - 2) = 2
]

Шаг 1: Определение области определения

Для логарифма ( \log(x - 2) ) область определения требует, чтобы аргумент был положительным:

[
x - 2 > 0 \implies x > 2
]

Таким образом, область определения нашего уравнения — это ( x > 2 ).

Шаг 2: Решение уравнения

Запишем уравнение в экспоненциальной форме:

[
x - 2 = 10^2
]

Это упростим:

[
x - 2 = 100
]

Теперь решим это уравнение относительно ( x ):

[
x = 100 + 2 = 102
]

Шаг 3: Проверка найденного корня

Теперь нам необходимо проверить, находится ли найденное значение ( x = 102 ) в области определения. Поскольку:

[
102 > 2
]

Условие выполнено, следовательно, мы можем проверить правильность решения подставив значение ( x ) обратно в исходное уравнение:

[
\log(102 - 2) = \log(100) = 2
]

Это верно, так как:

[
\log(100) = 2
]

Заключение

Таким образом, единственный корень уравнения ( \log(x - 2) = 2 ), который удовлетворяет всем условиям, это ( x = 102 ). Проверка подтвердила правильность решения.

Ответ: ( x = 102 ).