Когда мы говорим о ковариации двух случайных величин, важно правильно использовать оценку, соответствующую характеру выборки. Если в вашей выборке оказывается малое количество наблюдений и используется несмещённая оценка ковариации, это может привести к систематической ошибке.

Несмещенная оценка ковариации

Для двух случайных величин (X) и (Y) с выборочными значениями (X_1, X_2, \ldots, X_n) и (Y_1, Y_2, \ldots, Y_n) несмещенная оценка ковариации вычисляется следующим образом:

[
\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})
]

где (\bar{X}) и (\bar{Y}) — выборочные средние.

Смещенная оценка ковариации

Смещенная оценка ковариации учитывает, что у вас есть только выборка из генеральной совокупности и вычисляется по следующей формуле:

[
\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})
]

Что нужно изменить и почему

Если вы используете несмещенную оценку ковариации (то есть делите на (n-1)), но ваша выборка слишком мала, то это может привести к значительным колебаниям в оценках, так как малая выборка менее стабильна.

Проверьте размер выборки: Если у вас действительно малый объём выборки, рекомендуется использовать смещённую оценку ковариации. Это поможет уменьшить влияние случайных колебаний в данных.

Используйте смещённую оценку: Измените формулу на ту, что делит на (n), если выборка недостаточно велика для использования несмещённой оценки.

Анализируйте интервалы доверия: Также полезно будет рассмотреть построение доверительных интервалов для оценки ковариации, чтобы лучше понимать неизбежные ограничения малой выборки.

Заключение

Поскольку малый размер выборки влечёт за собой увеличение неопределённости, использование смещённой оценки в таких случаях может обеспечить более стабильные и предсказуемые результаты, позволяя лучше анализировать и интерпретировать данные.