Чтобы доказать, что любое ограниченное монотонное множество вещественных чисел имеет точную верхнюю грань, начнем с определения понятий.

Пусть ( A \subseteq \mathbb{R} ) - ограниченное монотонное множество. Мы будем рассматривать два случая: последовательность ( A ) не убывающая и не возрастающая.

Не убывающая последовательность:

Предположим, что множество ( A ) является не убывающим, т.е. для любых ( x, y \in A ) таких, что ( x < y ), выполняется ( x \leq y ). Поскольку множество ограниченное, существует число ( M ) - верхняя граница ( A ) (то есть, для любого ( a \in A ) выполняется ( a \leq M )).

Из-за монотонности последовательности ( A ) видно, что последовательность предельного верхнего предела ( \sup A ) является точной верхней гранью. Точность верхней грани означает, что для любого ( \epsilon > 0 ) найдется элемент ( a \in A ) такой, что ( \sup A - \epsilon < a \leq \sup A ).

Доказательство:

Поскольку ( M ) является верхней гранью, для любого ( \epsilon > 0 ) по определению ( \sup A ) существует элемент ( a \in A ) такой, что ( \sup A - \epsilon < a \leq \sup A ). Это и доказывает, что ( \sup A ) является точной верхней гранью.

Не убывающая последовательность:

Теперь рассмотрим случай, когда множество ( A ) является не убывающим. Опять же, согласно определению верхней грани, существует ( L ) - нижняя граница ( A ), и можно быть уверенными, что для любого ( \epsilon > 0 ) найдется элемент ( a \in A ) такой, что ( L \leq a \leq L + \epsilon ).

Таким образом, в обоих случаях мы показали, что любое ограниченное монотонное множество вещественных чисел имеет точную верхнюю грань.

Теперь обсудим связь с полнотой действительных чисел. Полнота действительных чисел означает, что каждое ограниченное сверху множество вещественных чисел имеет верхнюю грань. Мы показали, что любое ограниченное монотонное множество действительных чисел также обладает свойством иметь точную верхнюю грань. Это свидетельствует о том, что такие множества не только имеют верхнюю грань, но и что "приближающее значение" этой верхней грани может быть фактически достигнуто внутри самого множества.

Таким образом, это доказательство иллюстрирует важную характеристику полноты действительных чисел: он гарантирует существование верхних граней для ограниченных множеств, что является основополагающим свойством для анализа и дальнейшего изучения реальных чисел и их применения в математике.