Формула для площади поверхности тела вращения основывается на концепциях интегрального исчисления и геометрии, связанных с вращением кривых вокруг оси. Давайте разберем основные идеи, лежащие в основе этой формулы, и выведем её.

Тело вращения: Это объем, полученный в результате вращения плоской фигуры (например, кривой), ограниченной двумя линиями по заданной оси. Пример тела вращения — это вращение параболы вокруг оси абсцисс.

Площадь поверхности: Чтобы найти площадь поверхности тела вращения, необходимо разбить кривую, по которой осуществляется вращение, на малые участки и рассмотреть, как каждый из этих участков превращается в "осевую" поверхность.

Цилиндрические слои: Каждый малый участок кривой, когда вращается, образует цилиндр с высотой, равной длине этого участка, и окружностью, равной длине его проекции на ось вращения. Площадь боковой поверхности этого цилиндра можно выразить через радиус и высоту.

Рассмотрим кривую, заданную функцией ( y = f(x) ), вращающуюся вокруг оси X на интервале ( [a, b] ).

Малый участок: Принимаем отрезок ( dx ) на кривой, которая имеет координаты ( (x, f(x)) ). Этот небольшой отрезок можно считать линейным, и его длину можно выразить через производную:
[
ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx
]
где ( ds ) — длина элементарного отрезка, ( \frac{dy}{dx} ) — производная функции ( f(x) ).

Радиус вращения: В случае вращения вокруг оси X радиус, соответствующий этому участку, равен ( f(x) ).

Площадь боковой поверхности: Площадь ( dA ) боковой поверхности, образованной вращением (в виде цилиндра), определяется как:
[
dA = 2\pi (радиус) \times (длина)
]
Подставляя радиус и длину:
[
dA = 2\pi f(x) \cdot ds = 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx
]

Интегрирование: Чтобы найти общую площадь поверхности вращения, интегрируем по интервалу ( [a, b] ):
[
A = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx
]

Это и есть обобщенная формула для площади поверхности тела вращения для функции ( y = f(x) ), вращающейся вокруг оси X. Аналогично, можно вывести формулу для вращения вокруг оси Y и для других фигур, используя аналогичные подходы и соответствующие замены переменных в интеграле.