Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии может быть выражена следующей формулой:

$$S_n=a\frac{1-r^n}{1-r}(r\ne 1)$$

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a$ — первый член прогрессии, $r$ — общее отношение прогрессии, и $n$ — количество членов.

Существует несколько методов доказательства этой формулы:

1. Доказательство методом умножения на общее отношение

Рассмотрим сумму $S_n$:

$$S_n=a+ar+a{r}^2+\dots +a{r}^{n-1}$$

Умножим обе стороны на $r$:

$$r{S}_n=ar+a{r}^2+a{r}^3+\dots +a{r}^n$$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$$S_n-r{S}_n=a-a{r}^n$$

Получаем:

$$S_n(1-r)=a(1-r^n)$$

Отсюда:

$$S_n=a\frac{1-r^n}{1-r}$$

Применимость: Этот метод прост и интуитивно понятен, хорошо работает для всех значений $r$ $кроме(r=1)$.

2. Доказательство через математическую индукцию

Для математической индукции нам нужно показать, что формула верна для $n=1$ и после показать, что если она верна для $n=k$, то верна и для $n=k+1$.

База индукции: Для $n=1$:

$$S_1=a$$

Формула верна, так как:

$$S_1=a\frac{1-r^1}{1-r}=a$$

Шаг индукции: Предположим, что формула верна для $n=k$:

$$S_k=a\frac{1-r^k}{1-r}$$

Для $n=k+1$:

$$S_{k+1}=S_k+a{r}^k=a\frac{1-r^k}{1-r}+a{r}^k$$

После упрощения и одного из вышеупомянутых преобразований мы придем к нужной формуле.

Применимость: Этот метод подходящий, когда требуется строгая формальная структура и позволяет обоснованно подтвердить результаты.

3. Доказательство с помощью интегралов $длянепрерывныхфункций$

Если рассматривать сумму геометрической прогрессии как сумму ряда, можно использовать концепцию интеграции для нахождения предельного значения суммы. Но этот метод менее практичен для прямых вычислений.

Применимость: Это более абстрактный метод, часто используется в более высоких математических курсах, связан с анализом и расчетами пределов.

СравнениеМетод умножения — быстрый и интуитивный, подходит для большинства случаев.Метод индукции — дает строгую формальную проверку и работает во всех случаях, но может быть менее интуитивно понятным.Метод интегралов — менее удобный для простых задач, больше подойдет для теоретического анализа.

Таким образом, выбор метода зависит от контекста задачи: для простого объяснения лучше использовать умножение, для теоретических доказательств — индукцию.