Чтобы упростить или приблизить выражение $\sqrt{2+\sqrt{3}}$, можно рассмотреть несколько различных методов.

Способ 1: Прямое упрощение

Попробуем представить выражение в более простой форме, если это возможно. Например, мы можем попробовать выразить $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ в виде $\sqrt{a}+\sqrt{b}$:

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

Если возвести обе стороны в квадрат, получим:

$$2+\sqrt{3}=a+b+2\sqrt{ab}$$

Сравнивая части, приравняем:

$a+b=2$$2\sqrt{ab}=\sqrt{3}$

Из второго уравнения следует:

$$\sqrt{ab}=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹ab=\frac{3}{4}$$

Теперь мы можем решить систему уравнений $a+b=2$ и $ab=\frac{3}{4}$ с помощью дискриминанта:

$$x^2-(a+b)x+ab=0⟹x^2-2x+\frac{3}{4}=0$$

Дискриминант:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot \frac{3}{4}=4-3=1$$

Корни уравнения будут:

$$x=\frac{2\pm 1}{2}=\frac{3}{2},\frac{1}{2}$$

Следовательно, $a=\frac{3}{2}$ и $b=\frac{1}{2}$. Получаем:

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

Способ 2: Приближение

Чтобы получить приближенную стоимость, можно оценить значение $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ непосредственно. Если принять $\sqrt{3}\approx 1.732$:

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\approx \sqrt{2+1.732}\approx \sqrt{3.732}$$

Приблизительно $\sqrt{3.732}$ находится между $\sqrt{3.6}\approx 1.897$ и $\sqrt{4}=2$. Приблизительная оценка может дать значение около $1.93$.

Какой способ предпочтителен?

Если требуется точность и возможность дальнейших вычислений, предпочтительно использовать первый способ, так как он дает точное выражение в алгебраической форме. Однако, если важно быстро получить приближенную оценку, второй метод более удобен для ручных вычислений.

В зависимости от контекста задачи $необходимостьточногозначенияилибыстраяоценка$ можно выбрать один из двух подходов. Для ручных вычислений, если требуется высокоточная оценка, лучше использовать первый метод, а для установленной скорости и простой оценки - второй.