Чтобы проанализировать систему линейных уравнений с параметром $t$:

$x+y=1$ $уравнение1$$x+ty=2$ $уравнение2$

можно воспользоваться методом определения совместности систем линейных уравнений и методом ранга.

Шаг 1: Приведение системы к матричной форме

Система уравнений может быть записана в матричной форме $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, где

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& amp;11& amp;t\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}xy\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}12\end{array}\right)$$

Шаг 2: Определение ранга матрицы

Для проверки совместности системы уравнений необходимо найти ранг матрицы $A$ и расширенной матрицы $A^{\prime }$:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccccc}1& amp;1& amp;11& amp;t& amp;2\end{array}\right)$$

Ранг матрицы $A$:

Для нахождения ранга матрицы $A$, вычислим его определитель:
$$\text{det}(A)=1\cdot t-1\cdot 1=t-1$$Если $t\ne 1$, то ранк матрицы $A$ равен 2 $двелинейнонезависимыестроки$.Если $t=1$, то строки матрицы $A$ линейно зависимы, и ранк равен 1.

Ранг расширенной матрицы $A^{\prime }$:

Если $t=1$, то расширенная матрица станет:
$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccccc}1& amp;1& amp;11& amp;1& amp;2\end{array}\right)$$Покажем, что строки этой матрицы также являются линейно зависимыми:Если вычтем первую строку из второй:
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& amp;1& amp;10& amp;0& amp;1\end{array}\right)$$Ранг будет равен 2, так как первая строка не является линейной комбинацией второй. То есть $\text{rank}(A^{\prime })=2$.Шаг 3: Анализ совместности

Согласно теореме о рангах:

Если $\text{rank}(A)=\text{rank}(A^{\prime })=2$, то система совместна и имеет единственное решение.Если ( \text{rank}(A) < \text{rank}(A') ), система несовместна.Если ( \text{rank}(A) = \text{rank}(A') < 2 ), система имеет бесконечно много решений.

Проверим случаи:

$t\ne 1$:

$\text{rank}(A)=2$, $\text{rank}(A^{\prime })=2$ → единое решение.

$t=1$:

$\text{rank}(A)=1$, $\text{rank}(A^{\prime })=2$ → несовместная система.ВыводСистема совместна и имеет единственное решение при $t\ne 1$.При $t=1$ система несовместна.

Таким образом, система $(t\ne 1)$ имеет единственное решение, а $для(t=1)$ - нет решений.