Доказательство бесконечности множества простых чисел, которое предложил Евклид, является классическим и представлено в его труде «Начала». Вот краткое изложение этого доказательства:

Доказательство ЕвклидаПредположим, что множество простых чисел конечное и состоит из $p_1,p_2,\dots ,p_n$.Рассмотрим число $N$, равное произведению всех простых чисел, увеличенное на единицу:
$$N=p_1\times p_2\times \cdots \times p_n+1$$Число $N$ либо простое, либо составное.
Если $N$ — простое, то мы нашли простое число, не входящее в наш исходный список, что противоречит предположению о конечности множества простых чисел.Если $N$ — составное, то оно должно делиться на одно из простых чисел $p_1,p_2,\dots ,p_n$. Однако при делении $N$ на любое $p_i$ мы получаем остаток равный 1 $таккак(N)наединицубольшекратногоэтому(p_i)$. Это значит, что ни одно из $p_i$ не делит $N$.В обоих случаях мы приходим к противоречию, следовательно, множество простых чисел бесконечно.Современные подходы

Современные подходы к доказательству бесконечности простых чисел могут использовать более сложные методы, включая:

Топологические методы: Некоторые современные доказательства включают идеи из анализа и топологии, например, концепцию порядка в числах и их распределения.

Доказательства через свойства арифметической функции: Можно рассмотреть функцию чисел, которые не являются простыми, и показать, что для любого конечного списка простых чисел существует достаточно много целых чисел, которые продолжают оставаться непокрытыми.

Доказательства с использованием методов теории чисел: Например, использованы различные теоремы и результаты о распределении простых чисел, такие как теорема о распределении простых чисел $например,теоремаоразностномисходе$.

Современные примеры: Некоторые современные доказательства опираются на свойства чисел в математической логике или даже на концепты теории вероятностей, как, например, рандомизированные методы.

СравнениеКлассическое доказательство Евклида простое и интуитивно понятное, что делает его доступным даже для начинающих студентов.Современные доказательства могут быть более сложными и требуют знаний в различных областях математики.Однако оба подхода имеют одно общее: они подтверждают бесконечность простых чисел, что является важным результатом в математике.Кроме того, современная математическая наука использует более общий контекст для результатов, в то время как доказательство Евклида остается важным историческим этапом, который иллюстрирует метод дедукции и логику.

Таким образом, в математике существуют как классические, так и современные подходы к утверждению о бесконечности простых чисел, каждый из которых по-своему важен и ценен.